Edits to “Условие”, “Решение”, “Ответ”

emixter edited
View solution History
revision #13785 parent #13784 ← older newer →
ru/4.6.9.md +42 −3
@@ -1,11 +1,50 @@
### Условие
−$4.6.9.$ [Вставьте условие задачи]
+$4.6.9.$ Капилляр, наполовину заполненный жидкостью, вращается вокруг оси $OO^{'}$. Длина капилляра $2l$, его радиус $r$. Плотность жидкости $\rho$, а поверхностное натяжение $\sigma$. Жидкость полностью смачивает капилляр. При какой угловой скорости капилляра жидкость начнет из него вытекать?
+![К задаче $4.6.9$|284x161, 50%](../../img/4.6.9/Figure.png)
+
### Решение
−sdf
+В неинерциальной системе отсчёта, связанной с капилляром, на жидкость действует центробежная сила. Пусть $x$ - расстояние от оси вращения до бесконечно малого элемента массы жидкости $dm$ с площадью поперечного сечения $S$. Запишем условие равновесия для этого элемента:
+$$dP\cdot S-dm\cdot \omega^{2}x=0$$
+
+Учитывая, что $dm=\rho S\cdot dx$, получим:
+
+$$dP=\rho \omega^{2}x\cdot dx$$
+
+Интегрируя от центра капилляра $x=0$ до произвольной точки на расстоянии $x$, получаем:
+
+$$P(x)=\frac{1}{2}\rho \omega^{2}x^{2}+C$$
+
+Константу $C$ найдем из условия, что в точке $x=0$ давление равно атмосферному (концы капилляра открыты) минус давление Лапласа, поскольку мениск ввогнут:
+
+$$P(0)=P_{атм}-\frac{2\sigma}{r}$$
+$$C=P_{атм}-\frac{2\sigma}{r}$$
+
+Итак, получим:
+
+$$P(x)=\frac{1}{2}\rho \omega^{2}x^{2}+P_{атм}-\frac{2\sigma}{r}$$
+
+На конце капилляра $x=l$ давление будет:
+
+$$P(l)=\frac{1}{2}\rho \omega^{2}l^{2}+P_{атм}-\frac{2\sigma}{r}$$
+
+Но это давление должно быть не меньше, чем атмосферное давление плюс давление Лапласа, поскольку мениск выпуклый: $P_{атм}+\frac{2\sigma}{r}$. Чтобы найти критическую частоту, приравняем эти давления:
+
+$$P(l)=P_{атм}+\frac{2\sigma}{r}$$
+$$\frac{1}{2}\rho \omega^{2}l^{2}+P_{атм}-\frac{2\sigma}{r}=P_{атм}+\frac{2\sigma}{r}$$
+$$\frac{1}{2}\rho \omega^{2}l^{2}=\frac{4\sigma}{r}$$
+$$\omega^{2}=\frac{8\sigma}{r\rho l^{2}}$$
+
+Окончательно получим:
+
+$$\omega=\frac{2}{l}\sqrt{\frac{2\sigma}{r\rho}}$$
+
+
#### Ответ
−[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]
+$\omega=\frac{2}{l}\sqrt{\frac{2\sigma}{r\rho}}$
+
+В задачнике ответ неверный.