Решение

В неинерциальной системе отсчёта, связанной с капилляром, на жидкость действует центробежная сила. Пусть $x$ - расстояние от оси вращения до бесконечно малого элемента массы жидкости $dm$ с площадью поперечного сечения $S$. Запишем условие равновесия для этого элемента:

$$dP\cdot S-dm\cdot \omega^{2}x=0$$

Учитывая, что $dm=\rho S\cdot dx$, получим:

$$dP=\rho \omega^{2}x\cdot dx$$

Интегрируя от центра капилляра $x=0$ до произвольной точки на расстоянии $x$, получаем:

$$P(x)=\frac{1}{2}\rho \omega^{2}x^{2}+C$$

Константу $C$ найдем из условия, что в точке $x=0$ давление равно атмосферному (концы капилляра открыты) минус давление Лапласа, поскольку мениск ввогнут:

$$P(0)=P_{атм}-\frac{2\sigma}{r}$$
$$C=P_{атм}-\frac{2\sigma}{r}$$

Итак, получим:

$$P(x)=\frac{1}{2}\rho \omega^{2}x^{2}+P_{атм}-\frac{2\sigma}{r}$$

На конце капилляра $x=l$ давление будет:

$$P(l)=\frac{1}{2}\rho \omega^{2}l^{2}+P_{атм}-\frac{2\sigma}{r}$$

Но это давление должно быть не меньше, чем атмосферное давление плюс давление Лапласа, поскольку мениск выпуклый в точке $x=l$: $P_{атм}+\frac{2\sigma}{r}$. Чтобы найти критическую частоту, приравняем эти давления:

$$P(l)=P_{атм}+\frac{2\sigma}{r}$$
$$\frac{1}{2}\rho \omega^{2}l^{2}+P_{атм}-\frac{2\sigma}{r}=P_{атм}+\frac{2\sigma}{r}$$
$$\frac{1}{2}\rho \omega^{2}l^{2}=\frac{4\sigma}{r}$$
$$\omega^{2}=\frac{8\sigma}{r\rho l^{2}}$$

Окончательно получим:

$$\omega=\frac{2}{l}\sqrt{\frac{2\sigma}{r\rho}}$$