Решение

Силы поверхностного натяжения показаные на рис.1. действуют на единицу длины раздела всех трёх сред. Эти силы направлены по касательной к каждой паре поверхностей раздела сред и численно равны коэффициентам поверхностного натяжения. Мы пренебрегаем действием силы тяжести, поэтому считаем, что каждая из искривлённых границ раздела является частью сферы. Из рис.2. видно, что:

$$h_{1}=R_{1}(1-\cos\alpha_{1})$$
$$R_{1}=\frac{r}{\sin\alpha_{1}}$$
$$h_{1}=r\frac{1-\cos\alpha_{1}}{\sin\alpha_{1}}$$

Аналогично получим, что:

$$h_{2}=r\frac{1-\cos\alpha_{2}}{\sin\alpha_{2}}$$

На рис.1. показаны координатные оси, запишем в проекциях на них условие равновесия капли:

$$\sigma=\sigma_{1}\cos\alpha_{1}+\sigma_{2}\cos\alpha_{2}$$
$$\sigma_{1}\sin\alpha_{1}=\sigma_{2}\sin\alpha_{2}$$