Edit to “Решение”

emixter edited Mar 25, 2025, 9:06 PM

View solution History

revision #13799 parent #13798 ← older newer →

ru/4.5.22.md +24 −2

			### Условие

			$4.5.22.$ Маленькая капля жира плавает на поверхности жидкости, поверхностное натяжение которой $\sigma$. Поверхностное натяжение жира на границе воздух–жир $\sigma_{1}$, на границе жир–жидкость $\sigma^{2}$. Определите толщину капли, если ее радиус равен $r$.

			![К задаче $4.5.22$\|237x117, 50%](../../img/4.5.22/Figure3.png)

			### Решение

			![Рис.1.\|349x178, 50%](../../img/4.5.22/Figure.png)

			![Рис.2.\|252x244, 50%](../../img/4.5.22/Figure2.png)

			Силы поверхностного натяжения показаные на рис.1. действуют на единицу длины раздела всех трёх сред. Эти силы направлены по касательной к каждой паре поверхностей раздела сред и численно равны коэффициентам поверхностного натяжения. Мы пренебрегаем действием силы тяжести, поэтому считаем, что каждая из искривлённых границ раздела является частью сферы. Из рис.2. видно, что:
		@@ -14,20 +14,42 @@Решение

			$$h_{1}=R_{1}(1-\cos\alpha_{1})$$
			$$R_{1}=\frac{r}{\sin\alpha_{1}}$$
		−	$$h_{1}=r\frac{1-\cos\alpha_{1}}{\sin\alpha_{1}}$$
		+	$$h_{1}=r\frac{1-\cos\alpha_{1}}{\sin\alpha_{1}}=r\frac{\sqrt{1-\cos\alpha_{1}}\sqrt{1-\cos\alpha_{1}}}{\sqrt{1-\cos^{2}\alpha_{1}}}=r\frac{\sqrt{1-\cos\alpha_{1}}\sqrt{1-\cos\alpha_{1}}}{\sqrt{1-\cos\alpha_{1}}\sqrt{1+\cos\alpha_{1}}}=r\sqrt{\frac{1-\cos\alpha_{1}}{1+\cos\alpha_{1}}}$$

			Аналогично получим, что:

		−	$$h_{2}=r\frac{1-\cos\alpha_{2}}{~~\sin~~\alpha_{2}}$$
		+	$$h_{2}=r\sqrt{\frac{1-\cos\alpha_{2}}{1+\cos\alpha_{2}}}$$

			На рис.1. показаны координатные оси, запишем в проекциях на них условие равновесия капли:

			$$\sigma=\sigma_{1}\cos\alpha_{1}+\sigma_{2}\cos\alpha_{2}$$
			$$\sigma_{1}\sin\alpha_{1}=\sigma_{2}\sin\alpha_{2}$$

		+	Для уменьшения числа параметров поделим каждое уравнение на $\sigma_{1}$ и введём обозначения: $\sigma_{0}=\frac{\sigma}{\sigma_{1}}$, $\sigma_{21}=\frac{\sigma_{2}}{\sigma_{1}}$, получим:

		+	$$\sigma_{0}=\cos\alpha_{1}+\sigma_{21}\cos\alpha_{2}$$
		+	$$\sin\alpha_{1}=\sigma_{21}\sin\alpha_{2}$$
		+
		+	Далее проводим математические выкладки:
		+
		+	$$\sigma_{0}=\sqrt{1-\sigma_{21}^{2}\sin^{2}\alpha_{2}}+\sigma_{21}\cos\alpha_{2}$$
		+	$$\sigma_{0}^{2}+\sigma_{21}^{2}\cos^{2}\alpha_{2}-2\sigma_{0}\sigma_{21}\cos\alpha_{2}=1-\sigma_{21}^{2}\sin^{2}\alpha_{2}$$
		+	$$\cos\alpha_{2}=\frac{\sigma_{0}^{2}+\sigma_{21}^{2}-1}{2\sigma_{0}\sigma_{21}}$$
		+
		+	Подставим $\cos\alpha_{2}$ в формулу для $h_{2}$:
		+
		+	$$h_{2}=r\sqrt{\frac{1-(\sigma_{0}-\sigma_{21})^{2}}{(\sigma_{0}+\sigma_{21})^{2}-1}}=r\sqrt{\frac{\sigma_{1}^{2}-(\sigma-\sigma_{2})^{2}}{(\sigma+\sigma_{2})^{2}-\sigma_{1}^{2}}}$$
		+
		+	Аналогично находим $h_{1}$, но можем воспользоваться тем фактом, что наша система уравнений равновесия капли симметрична относительно перестановок индексов $1\to 2$. Поэтому сразу можем записать:
		+
		+	$$h_{1}=r\sqrt{\frac{\sigma_{2}^{2}-(\sigma-\sigma_{1})^{2}}{(\sigma+\sigma_{1})^{2}-\sigma_{2}^{2}}}$$
		+
		+	Толщина капли будет:
		+
		+	$$h=h_{1}+h_{2}$$
		+	$$h=r\left[ \sqrt{\frac{\sigma_{2}^{2}-(\sigma-\sigma_{1})^{2}}{(\sigma+\sigma_{1})^{2}-\sigma_{2}^{2}}}+\sqrt{\frac{\sigma_{1}^{2}-(\sigma-\sigma_{2})^{2}}{(\sigma+\sigma_{2})^{2}-\sigma_{1}^{2}}} \right]$$


			#### Ответ

			$$h=2r\sqrt{\frac{\sigma_{1}+\sigma_{2}-\sigma}{\sigma_{1}+\sigma_{2}+\sigma}\cdot \frac{\sigma^{2}}{\sigma^{2}-(\sigma_{1}-\sigma_{2})^{2}}}$$

	### Условие		### Условие

	$4.5.22.$ Маленькая капля жира плавает на поверхности жидкости, поверхностное натяжение которой $\sigma$. Поверхностное натяжение жира на границе воздух–жир $\sigma_{1}$, на границе жир–жидкость $\sigma^{2}$. Определите толщину капли, если ее радиус равен $r$.		$4.5.22.$ Маленькая капля жира плавает на поверхности жидкости, поверхностное натяжение которой $\sigma$. Поверхностное натяжение жира на границе воздух–жир $\sigma_{1}$, на границе жир–жидкость $\sigma^{2}$. Определите толщину капли, если ее радиус равен $r$.

	![К задаче $4.5.22$\|237x117, 50%](../../img/4.5.22/Figure3.png)		![К задаче $4.5.22$\|237x117, 50%](../../img/4.5.22/Figure3.png)

	### Решение		### Решение

	![Рис.1.\|349x178, 50%](../../img/4.5.22/Figure.png)		![Рис.1.\|349x178, 50%](../../img/4.5.22/Figure.png)

	![Рис.2.\|252x244, 50%](../../img/4.5.22/Figure2.png)		![Рис.2.\|252x244, 50%](../../img/4.5.22/Figure2.png)

	Силы поверхностного натяжения показаные на рис.1. действуют на единицу длины раздела всех трёх сред. Эти силы направлены по касательной к каждой паре поверхностей раздела сред и численно равны коэффициентам поверхностного натяжения. Мы пренебрегаем действием силы тяжести, поэтому считаем, что каждая из искривлённых границ раздела является частью сферы. Из рис.2. видно, что:		Силы поверхностного натяжения показаные на рис.1. действуют на единицу длины раздела всех трёх сред. Эти силы направлены по касательной к каждой паре поверхностей раздела сред и численно равны коэффициентам поверхностного натяжения. Мы пренебрегаем действием силы тяжести, поэтому считаем, что каждая из искривлённых границ раздела является частью сферы. Из рис.2. видно, что:
	@@ -14,20 +14,42 @@Решение

	$$h_{1}=R_{1}(1-\cos\alpha_{1})$$		$$h_{1}=R_{1}(1-\cos\alpha_{1})$$
	$$R_{1}=\frac{r}{\sin\alpha_{1}}$$		$$R_{1}=\frac{r}{\sin\alpha_{1}}$$
	$$h_{1}=r\frac{1-\cos\alpha_{1}}{\sin\alpha_{1}}$$		$$h_{1}=r\frac{1-\cos\alpha_{1}}{\sin\alpha_{1}}=r\frac{\sqrt{1-\cos\alpha_{1}}\sqrt{1-\cos\alpha_{1}}}{\sqrt{1-\cos^{2}\alpha_{1}}}=r\frac{\sqrt{1-\cos\alpha_{1}}\sqrt{1-\cos\alpha_{1}}}{\sqrt{1-\cos\alpha_{1}}\sqrt{1+\cos\alpha_{1}}}=r\sqrt{\frac{1-\cos\alpha_{1}}{1+\cos\alpha_{1}}}$$

	Аналогично получим, что:		Аналогично получим, что:

	$$h_{2}=r\frac{1-\cos\alpha_{2}}{~~\sin~~\alpha_{2}}$$		$$h_{2}=r\sqrt{\frac{1-\cos\alpha_{2}}{1+\cos\alpha_{2}}}$$

	На рис.1. показаны координатные оси, запишем в проекциях на них условие равновесия капли:		На рис.1. показаны координатные оси, запишем в проекциях на них условие равновесия капли:

	$$\sigma=\sigma_{1}\cos\alpha_{1}+\sigma_{2}\cos\alpha_{2}$$		$$\sigma=\sigma_{1}\cos\alpha_{1}+\sigma_{2}\cos\alpha_{2}$$
	$$\sigma_{1}\sin\alpha_{1}=\sigma_{2}\sin\alpha_{2}$$		$$\sigma_{1}\sin\alpha_{1}=\sigma_{2}\sin\alpha_{2}$$

			Для уменьшения числа параметров поделим каждое уравнение на $\sigma_{1}$ и введём обозначения: $\sigma_{0}=\frac{\sigma}{\sigma_{1}}$, $\sigma_{21}=\frac{\sigma_{2}}{\sigma_{1}}$, получим:

			$$\sigma_{0}=\cos\alpha_{1}+\sigma_{21}\cos\alpha_{2}$$
			$$\sin\alpha_{1}=\sigma_{21}\sin\alpha_{2}$$

			Далее проводим математические выкладки:

			$$\sigma_{0}=\sqrt{1-\sigma_{21}^{2}\sin^{2}\alpha_{2}}+\sigma_{21}\cos\alpha_{2}$$
			$$\sigma_{0}^{2}+\sigma_{21}^{2}\cos^{2}\alpha_{2}-2\sigma_{0}\sigma_{21}\cos\alpha_{2}=1-\sigma_{21}^{2}\sin^{2}\alpha_{2}$$
			$$\cos\alpha_{2}=\frac{\sigma_{0}^{2}+\sigma_{21}^{2}-1}{2\sigma_{0}\sigma_{21}}$$

			Подставим $\cos\alpha_{2}$ в формулу для $h_{2}$:

			$$h_{2}=r\sqrt{\frac{1-(\sigma_{0}-\sigma_{21})^{2}}{(\sigma_{0}+\sigma_{21})^{2}-1}}=r\sqrt{\frac{\sigma_{1}^{2}-(\sigma-\sigma_{2})^{2}}{(\sigma+\sigma_{2})^{2}-\sigma_{1}^{2}}}$$

			Аналогично находим $h_{1}$, но можем воспользоваться тем фактом, что наша система уравнений равновесия капли симметрична относительно перестановок индексов $1\to 2$. Поэтому сразу можем записать:

			$$h_{1}=r\sqrt{\frac{\sigma_{2}^{2}-(\sigma-\sigma_{1})^{2}}{(\sigma+\sigma_{1})^{2}-\sigma_{2}^{2}}}$$

			Толщина капли будет:

			$$h=h_{1}+h_{2}$$
			$$h=r\left[ \sqrt{\frac{\sigma_{2}^{2}-(\sigma-\sigma_{1})^{2}}{(\sigma+\sigma_{1})^{2}-\sigma_{2}^{2}}}+\sqrt{\frac{\sigma_{1}^{2}-(\sigma-\sigma_{2})^{2}}{(\sigma+\sigma_{2})^{2}-\sigma_{1}^{2}}} \right]$$


	#### Ответ		#### Ответ

	$$h=2r\sqrt{\frac{\sigma_{1}+\sigma_{2}-\sigma}{\sigma_{1}+\sigma_{2}+\sigma}\cdot \frac{\sigma^{2}}{\sigma^{2}-(\sigma_{1}-\sigma_{2})^{2}}}$$		$$h=2r\sqrt{\frac{\sigma_{1}+\sigma_{2}-\sigma}{\sigma_{1}+\sigma_{2}+\sigma}\cdot \frac{\sigma^{2}}{\sigma^{2}-(\sigma_{1}-\sigma_{2})^{2}}}$$