Решение

Силы поверхностного натяжения показаные на рис.1. действуют на единицу длины раздела всех трёх сред. Эти силы направлены по касательной к каждой паре поверхностей раздела сред и численно равны коэффициентам поверхностного натяжения. Мы пренебрегаем действием силы тяжести, поэтому считаем, что каждая из искривлённых границ раздела является частью сферы. Из рис.2. видно, что:

$$h_{1}=R_{1}(1-\cos\alpha_{1})$$
$$R_{1}=\frac{r}{\sin\alpha_{1}}$$
$$h_{1}=r\frac{1-\cos\alpha_{1}}{\sin\alpha_{1}}=r\frac{\sqrt{1-\cos\alpha_{1}}\sqrt{1-\cos\alpha_{1}}}{\sqrt{1-\cos^{2}\alpha_{1}}}=r\frac{\sqrt{1-\cos\alpha_{1}}\sqrt{1-\cos\alpha_{1}}}{\sqrt{1-\cos\alpha_{1}}\sqrt{1+\cos\alpha_{1}}}=r\sqrt{\frac{1-\cos\alpha_{1}}{1+\cos\alpha_{1}}}$$

Аналогично получим, что:

$$h_{2}=r\sqrt{\frac{1-\cos\alpha_{2}}{1+\cos\alpha_{2}}}$$

На рис.1. показаны координатные оси, запишем в проекциях на них условие равновесия капли:

$$\sigma=\sigma_{1}\cos\alpha_{1}+\sigma_{2}\cos\alpha_{2}$$
$$\sigma_{1}\sin\alpha_{1}=\sigma_{2}\sin\alpha_{2}$$

Для уменьшения числа параметров поделим каждое уравнение на $\sigma_{1}$ и введём обозначения: $\sigma_{0}=\frac{\sigma}{\sigma_{1}}$, $\sigma_{21}=\frac{\sigma_{2}}{\sigma_{1}}$, получим:

$$\sigma_{0}=\cos\alpha_{1}+\sigma_{21}\cos\alpha_{2}$$
$$\sin\alpha_{1}=\sigma_{21}\sin\alpha_{2}$$

Далее проводим математические выкладки:

$$\sigma_{0}=\sqrt{1-\sigma_{21}^{2}\sin^{2}\alpha_{2}}+\sigma_{21}\cos\alpha_{2}$$
$$\sigma_{0}^{2}+\sigma_{21}^{2}\cos^{2}\alpha_{2}-2\sigma_{0}\sigma_{21}\cos\alpha_{2}=1-\sigma_{21}^{2}\sin^{2}\alpha_{2}$$
$$\cos\alpha_{2}=\frac{\sigma_{0}^{2}+\sigma_{21}^{2}-1}{2\sigma_{0}\sigma_{21}}$$

Подставим $\cos\alpha_{2}$ в формулу для $h_{2}$:

$$h_{2}=r\sqrt{\frac{1-(\sigma_{0}-\sigma_{21})^{2}}{(\sigma_{0}+\sigma_{21})^{2}-1}}=r\sqrt{\frac{\sigma_{1}^{2}-(\sigma-\sigma_{2})^{2}}{(\sigma+\sigma_{2})^{2}-\sigma_{1}^{2}}}$$

Аналогично находим $h_{1}$, но можем воспользоваться тем фактом, что наша система уравнений равновесия капли симметрична относительно перестановок индексов $1\to 2$. Поэтому сразу можем записать:

$$h_{1}=r\sqrt{\frac{\sigma_{2}^{2}-(\sigma-\sigma_{1})^{2}}{(\sigma+\sigma_{1})^{2}-\sigma_{2}^{2}}}$$

Толщина капли будет:

$$h=h_{1}+h_{2}$$
$$h=r\left[ \sqrt{\frac{\sigma_{2}^{2}-(\sigma-\sigma_{1})^{2}}{(\sigma+\sigma_{1})^{2}-\sigma_{2}^{2}}}+\sqrt{\frac{\sigma_{1}^{2}-(\sigma-\sigma_{2})^{2}}{(\sigma+\sigma_{2})^{2}-\sigma_{1}^{2}}} \right]$$