| ### Условие | | ### Условие |
| | | |
| $4.5.22.$ Маленькая капля жира плавает на поверхности жидкости, поверхностное натяжение которой $\sigma$. Поверхностное натяжение жира на границе воздух–жир $\sigma_{1}$, на границе жир–жидкость $\sigma_{2}$. Определите толщину капли, если ее радиус равен $r$. | | $4.5.22.$ Маленькая капля жира плавает на поверхности жидкости, поверхностное натяжение которой $\sigma$. Поверхностное натяжение жира на границе воздух–жир $\sigma_{1}$, на границе жир–жидкость $\sigma_{2}$. Определите толщину капли, если ее радиус равен $r$. |
| | | |
|  | |  |
| | | |
| ### Решение | | ### Решение |
| | | |
|  | |  |
| | | |
|  | |  |
| | | |
| Силы поверхностного натяжения показаные на рис.1. действуют на единицу длины раздела всех трёх сред. Эти силы направлены по касательной к каждой паре поверхностей раздела сред и численно равны коэффициентам поверхностного натяжения. Мы пренебрегаем действием силы тяжести, поэтому считаем, что каждая из искривлённых границ раздела является частью сферы. Из рис.2. видно, что: | | Силы поверхностного натяжения показаные на рис.1. действуют на единицу длины раздела всех трёх сред. Эти силы направлены по касательной к каждой паре поверхностей раздела сред и численно равны коэффициентам поверхностного натяжения. Мы пренебрегаем действием силы тяжести, поэтому считаем, что каждая из искривлённых границ раздела является частью сферы. Из рис.2. видно, что: |
| | | |
| $$h_{1}=R_{1}(1-\cos\alpha_{1})$$ | | $$h_{1}=R_{1}(1-\cos\alpha_{1})$$ |
| $$R_{1}=\frac{r}{\sin\alpha_{1}}$$ | | $$R_{1}=\frac{r}{\sin\alpha_{1}}$$ |
| $$h_{1}=r\frac{1-\cos\alpha_{1}}{\sin\alpha_{1}}=r\frac{\sqrt{1-\cos\alpha_{1}}\sqrt{1-\cos\alpha_{1}}}{\sqrt{1-\cos^{2}\alpha_{1}}}=r\frac{\sqrt{1-\cos\alpha_{1}}\sqrt{1-\cos\alpha_{1}}}{\sqrt{1-\cos\alpha_{1}}\sqrt{1+\cos\alpha_{1}}}=r\sqrt{\frac{1-\cos\alpha_{1}}{1+\cos\alpha_{1}}}$$ | | $$h_{1}=r\frac{1-\cos\alpha_{1}}{\sin\alpha_{1}}=r\frac{\sqrt{1-\cos\alpha_{1}}\sqrt{1-\cos\alpha_{1}}}{\sqrt{1-\cos^{2}\alpha_{1}}}=r\frac{\sqrt{1-\cos\alpha_{1}}\sqrt{1-\cos\alpha_{1}}}{\sqrt{1-\cos\alpha_{1}}\sqrt{1+\cos\alpha_{1}}}=r\sqrt{\frac{1-\cos\alpha_{1}}{1+\cos\alpha_{1}}}$$ |
| | | |
| Аналогично получим, что: | | Аналогично получим, что: |
| | | |
| $$h_{2}=r\sqrt{\frac{1-\cos\alpha_{2}}{1+\cos\alpha_{2}}}$$ | | $$h_{2}=r\sqrt{\frac{1-\cos\alpha_{2}}{1+\cos\alpha_{2}}}$$ |
| | | |
| На рис.1. показаны координатные оси, запишем в проекциях на них условие равновесия капли: | | На рис.1. показаны координатные оси, запишем в проекциях на них условие равновесия капли: |
| | | |
| $$\sigma=\sigma_{1}\cos\alpha_{1}+\sigma_{2}\cos\alpha_{2}$$ | | $$\sigma=\sigma_{1}\cos\alpha_{1}+\sigma_{2}\cos\alpha_{2}$$ |
| $$\sigma_{1}\sin\alpha_{1}=\sigma_{2}\sin\alpha_{2}$$ | | $$\sigma_{1}\sin\alpha_{1}=\sigma_{2}\sin\alpha_{2}$$ |
| | | |
| Для уменьшения числа параметров поделим каждое уравнение на $\sigma_{1}$ и введём обозначения: $\sigma_{0}=\frac{\sigma}{\sigma_{1}}$, $\sigma_{21}=\frac{\sigma_{2}}{\sigma_{1}}$, получим: | | Для уменьшения числа параметров поделим каждое уравнение на $\sigma_{1}$ и введём обозначения: $\sigma_{0}=\frac{\sigma}{\sigma_{1}}$, $\sigma_{21}=\frac{\sigma_{2}}{\sigma_{1}}$, получим: |
| | | |
| $$\sigma_{0}=\cos\alpha_{1}+\sigma_{21}\cos\alpha_{2}$$ | | $$\sigma_{0}=\cos\alpha_{1}+\sigma_{21}\cos\alpha_{2}$$ |
| $$\sin\alpha_{1}=\sigma_{21}\sin\alpha_{2}$$ | | $$\sin\alpha_{1}=\sigma_{21}\sin\alpha_{2}$$ |
| | | |
| Далее проводим математические выкладки: | | Далее проводим математические выкладки: |
| | | |
| $$\sigma_{0}=\sqrt{1-\sigma_{21}^{2}\sin^{2}\alpha_{2}}+\sigma_{21}\cos\alpha_{2}$$ | | $$\sigma_{0}=\sqrt{1-\sigma_{21}^{2}\sin^{2}\alpha_{2}}+\sigma_{21}\cos\alpha_{2}$$ |
| $$\sigma_{0}^{2}+\sigma_{21}^{2}\cos^{2}\alpha_{2}-2\sigma_{0}\sigma_{21}\cos\alpha_{2}=1-\sigma_{21}^{2}\sin^{2}\alpha_{2}$$ | | $$\sigma_{0}^{2}+\sigma_{21}^{2}\cos^{2}\alpha_{2}-2\sigma_{0}\sigma_{21}\cos\alpha_{2}=1-\sigma_{21}^{2}\sin^{2}\alpha_{2}$$ |
| $$\cos\alpha_{2}=\frac{\sigma_{0}^{2}+\sigma_{21}^{2}-1}{2\sigma_{0}\sigma_{21}}$$ | | $$\cos\alpha_{2}=\frac{\sigma_{0}^{2}+\sigma_{21}^{2}-1}{2\sigma_{0}\sigma_{21}}$$ |
| | | |
| Подставим $\cos\alpha_{2}$ в формулу для $h_{2}$: | | Подставим $\cos\alpha_{2}$ в формулу для $h_{2}$: |
| | | |
| $$h_{2}=r\sqrt{\frac{1-(\sigma_{0}-\sigma_{21})^{2}}{(\sigma_{0}+\sigma_{21})^{2}-1}}=r\sqrt{\frac{\sigma_{1}^{2}-(\sigma-\sigma_{2})^{2}}{(\sigma+\sigma_{2})^{2}-\sigma_{1}^{2}}}$$ | | $$h_{2}=r\sqrt{\frac{1-(\sigma_{0}-\sigma_{21})^{2}}{(\sigma_{0}+\sigma_{21})^{2}-1}}=r\sqrt{\frac{\sigma_{1}^{2}-(\sigma-\sigma_{2})^{2}}{(\sigma+\sigma_{2})^{2}-\sigma_{1}^{2}}}$$ |
| | | |
| Аналогично находим $h_{1}$, но можем воспользоваться тем фактом, что наша система уравнений равновесия капли симметрична относительно перестановок индексов $1\to 2$. Поэтому сразу можем записать: | | Аналогично находим $h_{1}$, но можем воспользоваться тем фактом, что наша система уравнений равновесия капли симметрична относительно перестановок индексов $1\to 2$. Поэтому сразу можем записать: |
| | | |
| $$h_{1}=r\sqrt{\frac{\sigma_{2}^{2}-(\sigma-\sigma_{1})^{2}}{(\sigma+\sigma_{1})^{2}-\sigma_{2}^{2}}}$$ | | $$h_{1}=r\sqrt{\frac{\sigma_{2}^{2}-(\sigma-\sigma_{1})^{2}}{(\sigma+\sigma_{1})^{2}-\sigma_{2}^{2}}}$$ |
| | | |
| Толщина капли будет: | | Толщина капли будет: |
| | | |
