$2.8.16.$ На цилиндрический столб намотан один виток каната. Чтобы канат не скользил по столбу, когда его за один из концов тянут с силой $F$, другой конец каната достаточно удерживать с силой $f$. Как изменится удерживающая сила, если на столб намотано $n$ витков? Витки каната не соприкасаются друг с другом.
### Решение
Я покажу два способа решения этой задачи. Один нетривиальный, другой тривиальный, но более строгий. Кроме того, мне не нравится, как здесь показано решение задачи $2.8.17$ из-за неточностей в выкладках, а она как раз и есть тривиальным способом.
$\textbf{Нетривиальный способ.}$
Сила $f$ может зависить от радиуса столба, коэффициента трения и самой величины силы $F$. Однако из соображений размерности можна сделать вывод, что $f\sim F$. Действительно, невозможно подобрать такую комбинацию из $F$, $\mu$, $R$, чтобы она имела размерность силы. Поэтому $f=kF$ - это для одного витка. Здесь $k$ коэффициент пропорциональности, из тривиального способа мы увидим, что он зависит только от коэффициента трения.
Теперь рассмотрим второй виток каната. Для него роль силы $F$ играет сила $f$, поэтому $f_{2}=kf=k^{2}F$, где $f_{2}$ - сила, которую надо приложить к свободному концу каната, когда на столб намотано два витка.
Для третьего витка :
$$f_{3}=kf_{2}=k^{3}F$$
и так далее. Для $n$-го витка получим:
$$f_{n}=kf_{n-1}=k^{n}F$$
Поскольку $k=\frac{f}{F}$, то подставляя, получим:
$$f_{n}=F\left( \frac{f}{F}\right)^{n}$$
$\textbf{Тривиальный способ.}$
Рассмотрим силы, действующие на малый участок каната, определяющийся малым углом $d\theta$:
На канат действует справа сила $\vec F+ d\vec F$, направленная под углом $d\theta/2$ к касательной, слева сила $\vec F$, направленная под углом $d\theta/2$ к касательной, сила реакции со стороны столба $\vec N$, направленная радиально, сила трения $\vec F_{тр}$, направленная по касательной к столбу. Координатные оси отображены на рисунке.
+
+
Запишем условие равновесия системы сразу в проекциях на координатные оси:
+
+
на ось Х: $\left( F+dF \right)\cos\frac{d\theta}{2}=F\cos\frac{d\theta}{2}+F_{тр}$
+
+
на ось Y: $N=F\sin\frac{d\theta}{2}+\left( F+dF \right)\sin\frac{d\theta}{2}$
+
+
Так как угол $d\theta$ мал, то $\cos\frac{d\theta}{2}\approx 1$, а $\sin\frac{d\theta}{2}\approx\frac{d\theta}{2}$, то можно переписать так:
Или с учётом пренебрежимости малых второго порядка:
+
+
$$dF=F_{тр}$$
+
$$N=F\cdot d\theta$$
+
+
Поскольку сила трения покоя здесь приобретает своё максимальное значение, то $F_{тр}=\mu N=\mu F d\theta$, получаем:
+
+
$$dF=\mu F d\theta$$
+
$$\frac{dF}{F}=\mu d\theta$$
+
+
+
+
#### Ответ
$f_{n}=F\left( \frac{f}{F}\right)^{n}$
### Условие
### Условие
$2.8.16.$ На цилиндрический столб намотан один виток каната. Чтобы канат не скользил по столбу, когда его за один из концов тянут с силой $F$, другой конец каната достаточно удерживать с силой $f$. Как изменится удерживающая сила, если на столб намотано $n$ витков? Витки каната не соприкасаются друг с другом.
$2.8.16.$ На цилиндрический столб намотан один виток каната. Чтобы канат не скользил по столбу, когда его за один из концов тянут с силой $F$, другой конец каната достаточно удерживать с силой $f$. Как изменится удерживающая сила, если на столб намотано $n$ витков? Витки каната не соприкасаются друг с другом.
### Решение
### Решение
Я покажу два способа решения этой задачи. Один нетривиальный, другой тривиальный, но более строгий. Кроме того, мне не нравится, как здесь показано решение задачи $2.8.17$ из-за неточностей в выкладках, а она как раз и есть тривиальным способом.
Я покажу два способа решения этой задачи. Один нетривиальный, другой тривиальный, но более строгий. Кроме того, мне не нравится, как здесь показано решение задачи $2.8.17$ из-за неточностей в выкладках, а она как раз и есть тривиальным способом.
$\textbf{Нетривиальный способ.}$
$\textbf{Нетривиальный способ.}$
Сила $f$ может зависить от радиуса столба, коэффициента трения и самой величины силы $F$. Однако из соображений размерности можна сделать вывод, что $f\sim F$. Действительно, невозможно подобрать такую комбинацию из $F$, $\mu$, $R$, чтобы она имела размерность силы. Поэтому $f=kF$ - это для одного витка. Здесь $k$ коэффициент пропорциональности, из тривиального способа мы увидим, что он зависит только от коэффициента трения.
Сила $f$ может зависить от радиуса столба, коэффициента трения и самой величины силы $F$. Однако из соображений размерности можна сделать вывод, что $f\sim F$. Действительно, невозможно подобрать такую комбинацию из $F$, $\mu$, $R$, чтобы она имела размерность силы. Поэтому $f=kF$ - это для одного витка. Здесь $k$ коэффициент пропорциональности, из тривиального способа мы увидим, что он зависит только от коэффициента трения.
Теперь рассмотрим второй виток каната. Для него роль силы $F$ играет сила $f$, поэтому $f_{2}=kf=k^{2}F$, где $f_{2}$ - сила, которую надо приложить к свободному концу каната, когда на столб намотано два витка.
Теперь рассмотрим второй виток каната. Для него роль силы $F$ играет сила $f$, поэтому $f_{2}=kf=k^{2}F$, где $f_{2}$ - сила, которую надо приложить к свободному концу каната, когда на столб намотано два витка.
Для третьего витка :
Для третьего витка :
$$f_{3}=kf_{2}=k^{3}F$$
$$f_{3}=kf_{2}=k^{3}F$$
и так далее. Для $n$-го витка получим:
и так далее. Для $n$-го витка получим:
$$f_{n}=kf_{n-1}=k^{n}F$$
$$f_{n}=kf_{n-1}=k^{n}F$$
Поскольку $k=\frac{f}{F}$, то подставляя, получим:
Поскольку $k=\frac{f}{F}$, то подставляя, получим:
$$f_{n}=F\left( \frac{f}{F}\right)^{n}$$
$$f_{n}=F\left( \frac{f}{F}\right)^{n}$$
$\textbf{Тривиальный способ.}$
$\textbf{Тривиальный способ.}$
Рассмотрим силы, действующие на малый участок каната, определяющийся малым углом $d\theta$:
Рассмотрим силы, действующие на малый участок каната, определяющийся малым углом $d\theta$:
На канат действует справа сила $\vec F+ d\vec F$, направленная под углом $d\theta/2$ к касательной, слева сила $\vec F$, направленная под углом $d\theta/2$ к касательной, сила реакции со стороны столба $\vec N$, направленная радиально, сила трения $\vec F_{тр}$, направленная по касательной к столбу. Координатные оси отображены на рисунке.
Запишем условие равновесия системы сразу в проекциях на координатные оси:
на ось Х: $\left( F+dF \right)\cos\frac{d\theta}{2}=F\cos\frac{d\theta}{2}+F_{тр}$
на ось Y: $N=F\sin\frac{d\theta}{2}+\left( F+dF \right)\sin\frac{d\theta}{2}$
Так как угол $d\theta$ мал, то $\cos\frac{d\theta}{2}\approx 1$, а $\sin\frac{d\theta}{2}\approx\frac{d\theta}{2}$, то можно переписать так:
