Решение

Анализ ситуации

Каждое столкновение шара 2 с шарами 1 и 3 будет увеличивать скорость крайних шаров: при столкновениях «подталкивающие» силы, действующие на соответствующие крайние шары, направлены к соответствующим «концам» спицы. Можно ясно показать, что из условий $m_1\gg m_2$ и $m_3\gg m_2$ следует, что первое и последующие столкновения изменяют скорости крайних шаров на очень малую величину [1]. Так, можно считать, что число столкновений велико и крайние шары разгоняются плавно.

Столкновения шаров прекратятся, когда легкий шар 2 после «раздачи» своей кинетической энергии уже не сможет догнать какой-то из крайних шаров: то есть, когда скорость шара 2 вследствие снижения станет равной скорости очередного догоняемого крайнего шара. После прекращения соударений крайние шары, естественно, не получают приращений скорости; следовательно, они достигли своих максимальных скоростей.

Пусть легкий шар 2 после прекращения столкновений движется за шаром 3 (их скорости сравнялись). Запишем систему уравнений на основе законов сохранения энергии и импульса:

$$\left\{\begin{aligned}&m_2v=-m_1v_1+m_2v_3+m_3v_3,\\ &\frac{m_2v^2}{2}=\frac{m_1v_1^2}{2}+\frac{m_2v_3^2}{2}+\frac{m_3v_3^2}{2}, \end{aligned} \right.$$

где $v_1$ и $v_3$ есть скорости шаров 1 и 3 в конце.

Можно видеть, что $m_2v_3\ll m_3v_3$ и $\dfrac{m_2v_3^2}{2}\ll\dfrac{m_3v_3^2}{2}$, поэтому составленную систему уравнений можно упростить так:

$$\left\{\begin{aligned}&m_2v=-m_1v_1+m_3v_3,\\ &\frac{m_2v^2}{2}=\frac{m_1v_1^2}{2}+\frac{m_3v_3^2}{2}. \end{aligned} \right.\tag{1}$$

Не сложно показать, что, если шар 2 в конце двигается за шаром 1 (их скорости равны), то после упрощений мы получаем такую же систему уравнений $(1)$.

Совместное решение уравнений системы $(1)$ стандартными путями получается громоздким, но для ясности и наглядности мы его покажем в довольно подробном виде. Полезность дальнейшего подробного решения состоит в том, что мы покажем очень значимые эффективные математические упрощения.

Решение системы уравнений

Итак, освобождаем второе уравнение от знаменателей, оставляем в обоих уравнениях слагаемые с $v_3$ справа, возводим в квадрат первое уравнение:

$$\left\{\begin{aligned}&(m_2v+m_1v_1)^2=m_3^2v_3^2,\\ &m_2v^2-m_1v_1^2=m_3v_3^2. \end{aligned} \right.$$

Делим первое уравнение этой системы на второе:

$$\frac{(m_2v+m_1v_1)^2}{m_2v^2-m_1v_1^2}=m_3.$$

Приводим это к квадратному уравнению относительно неизвестной $v_1$. C условием малости массы $m_2$ получаем приблизительное уравнение:

$$m_1(m_1+m_3)v_1^2+2m_1m_2vv_1-v^2m_2m_3=0.$$

Аккуратно находим, что допустимый корень этого уравнения ($v_1>0$) можно записать, например, в таком виде после сокращений

$$v_1=v\frac{\sqrt{m_1^2m_2^2+m_1m_2m_3m_{13}}}{m_1m_{13}}-v\frac{m_2}{m_{13}},$$

где $m_{13}=m_1+m_3$.

Тут, с учетом $m_2\ll(m_1+m_3)=m_{13}$, избавляемся от отрицательного слагаемого; также вносим под корень знаменатель положительного слагаемого:

$$v_1=v\sqrt{\frac{m_1^2m_2^2+m_1m_2m_3m_{13}}{m_1^2m_{13}^2}}.$$

Подкореное выражение запишем в виде суммы дробей:

$$v_1=v\sqrt{\frac{m_1^2m_2^2}{m_1^2m_{13}^2}+\frac{m_1m_2m_3m_{13}}{m_1^2m_{13}^2}}.$$

Здесь $m_2^2\ll m_{13}^2$, что избавляет от первого слагаемого под корнем:

$$v_1=v\sqrt{\frac{m_1m_2m_3m_{13}\strut}{m_1^2m_{13}^2}}.$$

Упрощения этого выражения дают

\begin{equation}v_1=v\sqrt{\frac{m_2m_3\strut}{m_1(m_1+m_3)}}\tag{2} \end{equation}

(здесь учтено $m_{13}=m_1+m_3$).

Вид результата для скорости тела 1 наводит на мысль о симметричном результате для скорости тела 2 при заменах

$$m_1\to m_3,\quad m_3\to m_1$$

в формуле $(2)$. О том, как «эффектна» симметрия при решении задач физики, см. в статье [2].

Действительно, ведь после первого столкновения шара 2, например, с покоящимся тяжелым шаром 3, шар 2 отскакивает от шара 3 практически с той же скоростью, с какой и приближался к нему [3]. Значит, перед вторым столкновением шар 2 налетает на шар 1 почти с той же начальной скоростью $v$. Меняя местами шары 1 и 3, получаем справедливо

\begin{equation*} v_3=v\sqrt{\frac{m_2m_1\strut}{m_3(m_3+m_1)}}. \end{equation*}