Решение

Наибольшие шансы выйти из световода имеет луч, входящий в него у внутреннего радиуса (самый малый угол падения). И если этот луч не выйдет при первом касании внешнего радиуса световода, то при дальнейших отражениях угол падения только увеличивается, что сделает невозможным выход луча через внешнюю поверхность.

Таким образом, для достижения полного внутреннего отражения угол $\alpha$ должен удовлетворять условию:

$$\sin\alpha=\frac{1}{n}$$

Из рисунка видно, что:

$$\sin\alpha=\frac{R-l}{R}$$

Приравнивая их, найдём $R$:

$$\frac{1}{n}=\frac{R-l}{R}$$
$$R=\frac{ln}{n-1}$$