Решение

Направим ось $x$ перпендикулярно к плоскостям, а ось $y$ — вдоль направления течения жидкости.

Для установившегося ламинарного течения вдоль оси $y$, при отсутствии внешних сил, уравнение Навье–Стокса имеет вид:

$$\eta \frac{d^2 v}{dx^2} = \frac{dP}{dy}$$

По условию задачи, градиент давления вдоль оси $y$ постоянен и равен:

$$\frac{dP}{dy} = -P$$

Подставим это в уравнение:

$$\eta \frac{d^2 v}{dx^2} = -P$$

Решим полученное дифференциальное уравнение второго порядка. Интегрируем дважды по $x$:

$$\frac{dv}{dx} = -\frac{P}{\eta} x + C_1$$
$$v(x) = -\frac{P}{2\eta} x^2 + C_1 x + C_2$$

Граничные условия: $v(0) = 0$, $v(h) = 0$ — жидкость "прилипает" к плоскостям (условие прилипания). Подставим в общее решение:

$$v(0) = 0 \Rightarrow C_2 = 0$$
$$v(h) = 0 \Rightarrow -\frac{P}{2\eta} h^2 + C_1 h = 0 \Rightarrow C_1 = \frac{P}{2\eta} h$$

Подставим найденные константы:

$$v(x) = -\frac{P}{2\eta} x^2 + \frac{P}{2\eta} h x = \frac{P}{2\eta} x(h - x)$$

Расход на единицу ширины потока:

$$Q = \int_0^h v(x) \, dx = \int_0^h \frac{P}{2\eta} x(h - x) \, dx$$

Вынесем постоянные и вычислим интеграл:

$$Q = \frac{P}{2\eta} \int_0^h x(h - x) \, dx = \frac{P}{2\eta} \left[ \frac{h x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_0^h = \frac{P}{2\eta} \left( \frac{h^3}{2} - \frac{h^3}{3} \right)$$

$$Q = \frac{P h^3}{2\eta} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) = \frac{P h^3}{12\eta}$$