Решение

Направим ось Х перпендикулярно к плоскостям, а ось Y вдоль течения жидкости. Для установившегося ламинарного течения в слое жидкости действует уравнение Навье-Стокса. В проекции на ось Y (при отсутствии внешних сил):

$$\eta\frac{d^{2}\upsilon}{dx^{2}}=\frac{dP}{dy}$$

По условию задачи градиент давления:

$$\frac{dP}{dy}=-P$$

Тогда:

$$\eta\frac{d^{2}\upsilon}{dx^{2}}=-P$$

Интегрируя уравнение дважды по $x$, получаем:

$$\frac{d\upsilon}{dx}=-\frac{P}{\eta}x+C_{1}$$
$$\upsilon(x)=-\frac{P}{2\eta}x^{2}+C_{1}x+C_{2}$$

Запишем граничные условия: $\upsilon(0)=0$, $\upsilon(h)=0$ - жидкость "прилипает" к плоскостям. Из них найдём константы $C_{1}$ и $C_{2}$:

$$\upsilon(0)=0=C_{2}$$
$$\upsilon(h)=0=-\frac{P}{2\eta}h^{2}+C_{1}h \Longrightarrow C_{1}=\frac{P}{2\eta}h$$

Таким образом, окончательное выражение для скорости:

$$\upsilon(x)=-\frac{P}{2\eta}x^{2}+\frac{P}{2\eta}hx$$
$$\upsilon(x)=\frac{P}{2\eta}x\left( h-x \right)$$

Расход жидкости на единицу ширины потока вычисляется как интеграл:

$$Q=\int_{0}^{h}\upsilon(x)dx$$

Подставляем найденное $\upsilon(x)$:

$$Q=\int_{0}^{h}\frac{P}{2\eta}x\left( h-x \right)dx=\frac{Ph}{2\eta}\frac{1}{2} x^{2}|_{0}^{h}-\frac{P}{2\eta}\frac{1}{3} x^{3}|_{0}^{h}=\frac{Ph^{3}}{2\eta}\left( \frac{1}{2}-\frac{1}{3} \right)=\frac{Ph^{3}}{12\eta}$$