$4.4.2.$ Найдите распределение скорости жидкости при установившемся ее течении между двумя плоскостями. Расстояние между плоскостями $h$, вязкость жидкости $\eta$. Найдите расход жидкости на единицу ширины потока, если перепад давления на единицу длины потока (в направлении движения жидкости) равен $P$.
### Решение
Направим ось \( x \) перпендикулярно к плоскостям, а ось \( y \) — вдоль направления течения жидкости.
Для установившегося ламинарного течения вдоль оси \( y \), при отсутствии внешних сил, уравнение Навье–Стокса имеет вид:
\[
\eta\frac{d^2 v}{dx^2} = \frac{dP}{dy}
\]
По условию задачи, градиент давления вдоль оси \( y \) постоянен и равен:
\[
\frac{dP}{dy} = -P
\]
Подставим это в уравнение:
\[
\eta\frac{d^2 v}{dx^2} = -P
\]
Решим полученное дифференциальное уравнение второго порядка. Интегрируем дважды по \( x \):
\[
\frac{dv}{dx} = -\frac{P}{\eta} x + C_1
\]
\[
v(x) = -\frac{P}{2\eta} x^2 + C_1 x + C_2
\]
Граничные условия: \( v(0) = 0 \), \( v(h) = 0 \) — жидкость "прилипает" к плоскостям (условие прилипания). Подставим в общее решение:
\[
v(0) = 0 \Rightarrow C_2 = 0
\]
\[
v(h) = 0 \Rightarrow -\frac{P}{2\eta} h^2 + C_1 h = 0 \Rightarrow C_1 = \frac{P}{2\eta} h
\]
Подставим найденные константы:
\[
v(x) = -\frac{P}{2\eta} x^2 + \frac{P}{2\eta} h x = \frac{P}{2\eta} x(h - x)
$4.4.2.$ Найдите распределение скорости жидкости при установившемся ее течении между двумя плоскостями. Расстояние между плоскостями $h$, вязкость жидкости $\eta$. Найдите расход жидкости на единицу ширины потока, если перепад давления на единицу длины потока (в направлении движения жидкости) равен $P$.
$4.4.2.$ Найдите распределение скорости жидкости при установившемся ее течении между двумя плоскостями. Расстояние между плоскостями $h$, вязкость жидкости $\eta$. Найдите расход жидкости на единицу ширины потока, если перепад давления на единицу длины потока (в направлении движения жидкости) равен $P$.
### Решение
### Решение
Направим ось \( x \) перпендикулярно к плоскостям, а ось \( y \) — вдоль направления течения жидкости.
Направим ось \( x \) перпендикулярно к плоскостям, а ось \( y \) — вдоль направления течения жидкости.
Для установившегося ламинарного течения вдоль оси \( y \), при отсутствии внешних сил, уравнение Навье–Стокса имеет вид:
Для установившегося ламинарного течения вдоль оси \( y \), при отсутствии внешних сил, уравнение Навье–Стокса имеет вид:
\[
\[
\eta\frac{d^2 v}{dx^2} = \frac{dP}{dy}
\eta\frac{d^2 v}{dx^2} = \frac{dP}{dy}
\]
\]
По условию задачи, градиент давления вдоль оси \( y \) постоянен и равен:
По условию задачи, градиент давления вдоль оси \( y \) постоянен и равен:
\[
\[
\frac{dP}{dy} = -P
\frac{dP}{dy} = -P
\]
\]
Подставим это в уравнение:
Подставим это в уравнение:
\[
\[
\eta\frac{d^2 v}{dx^2} = -P
\eta\frac{d^2 v}{dx^2} = -P
\]
\]
Решим полученное дифференциальное уравнение второго порядка. Интегрируем дважды по \( x \):
Решим полученное дифференциальное уравнение второго порядка. Интегрируем дважды по \( x \):
\[
\[
\frac{dv}{dx} = -\frac{P}{\eta} x + C_1
\frac{dv}{dx} = -\frac{P}{\eta} x + C_1
\]
\]
\[
\[
v(x) = -\frac{P}{2\eta} x^2 + C_1 x + C_2
v(x) = -\frac{P}{2\eta} x^2 + C_1 x + C_2
\]
\]
Граничные условия: \( v(0) = 0 \), \( v(h) = 0 \) — жидкость "прилипает" к плоскостям (условие прилипания). Подставим в общее решение:
Граничные условия: \( v(0) = 0 \), \( v(h) = 0 \) — жидкость "прилипает" к плоскостям (условие прилипания). Подставим в общее решение:
\[
\[
v(0) = 0 \Rightarrow C_2 = 0
v(0) = 0 \Rightarrow C_2 = 0
\]
\]
\[
\[
v(h) = 0 \Rightarrow -\frac{P}{2\eta} h^2 + C_1 h = 0 \Rightarrow C_1 = \frac{P}{2\eta} h
v(h) = 0 \Rightarrow -\frac{P}{2\eta} h^2 + C_1 h = 0 \Rightarrow C_1 = \frac{P}{2\eta} h
\]
\]
Подставим найденные константы:
Подставим найденные константы:
\[
\[
v(x) = -\frac{P}{2\eta} x^2 + \frac{P}{2\eta} h x = \frac{P}{2\eta} x(h - x)
v(x) = -\frac{P}{2\eta} x^2 + \frac{P}{2\eta} h x = \frac{P}{2\eta} x(h - x)
