Решение

В лабораторной системе отсчёта время жизни движущейся частицы увеличивается за счёт релятивистского эффекта:

$$\tau' = \frac{\tau}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$$

Частица должна пролететь расстояние $l$ за время $\tau'$:

$$l < v \tau'$$

Подставим выражение для $\tau'$:

$$l < \frac{v \tau}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$$

Решим это неравенство относительно $v$. Переносим всё к одной стороне и преобразуем:

$$\frac{v \tau}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} > l$$

Разделим обе части на $\tau$, возведём в квадрат и выразим $v$:

$$\frac{v^2}{1 - \frac{v^2}{c^2}} > \left( \frac{l}{\tau} \right)^2$$

Умножим обе части на $1 - \frac{v^2}{c^2}$ и решим:

$$v^2 > \left( \frac{l}{\tau} \right)^2 \left( 1 - \frac{v^2}{c^2} \right)$$

Раскроем скобки и перенесём всё в одну сторону:

$$v^2 + \left( \frac{l}{\tau c} \right)^2 v^2 > \left( \frac{l}{\tau} \right)^2$$

$$v^2 \left( 1 + \left( \frac{l}{\tau c} \right)^2 \right) > \left( \frac{l}{\tau} \right)^2$$

Теперь выразим $v$:

$$v^2 > \frac{\left( \frac{l}{\tau} \right)^2}{1 + \left( \frac{l}{\tau c} \right)^2}$$

$$v > \frac{c}{\sqrt{1 + \left( \frac{\tau c}{l} \right)^2}}$$