Edits to “Условие”, “Решение”, “Ответ”
ru/5.8.2.md
+39 −3
| @@ -1,11 +1,47 @@ | |||
| ### Условие | |||
| − | $5.8.2.$ [Вставьте условие задачи] | ||
| + | $5.8.2.$ Долю времени, в течение которого частицы находятся в каком-либо состоянии, часто называют вероятностью этого состояния. | ||
| + | $\textbf{а.}$ В сосуде находятся две молекулы. Чему равна вероятность того, что обе молекулы будут находиться в левой половине сосуда? в любой из половин? | ||
| + | |||
| + | $\textbf{б.}$ Чему равна вероятность того, что молекулы будут находиться в разных половинах сосуда? | ||
| + | |||
| + | $\textbf{в.}$ В сосуде находятся три молекулы. Чему равна вероятность того, что две молекулы будут находиться в левой половине сосуда и что в левой половине сосуда не будет ни одной молекулы? | ||
| + | |||
| + | |||
| ### Решение | |||
| − | вып | ||
| + | $\textbf{а.}$ Предположим, что молекулы движутся хаотично и независимо друг от друга, а вероятность нахождения одной молекулы в любой половине сосуда равна $\frac{1}{2}$. Тогда вероятность того, что обе молекулы окажутся в левой половине (для независимых событий A и B, вероятность их совместного наступления равна произведению вероятностей этих событий): | ||
| + | $$p_{1}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$$ | ||
| + | |||
| + | Событие того, что обе молекулы окажутся в любой из половин, может произойти двумя способами: обе молекулы находятся в левой половине (эту вероятность мы определили и она равна $\frac{1}{4}$) или обе молекулы находятся в правой половине (аналогично, вероятность также $\frac{1}{4}$). Следовательно, суммарная вероятность: | ||
| + | |||
| + | $$p_{2}=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$$ | ||
| + | |||
| + | Напомню, что вероятности событий суммируются, когда рассматриваются несовместимые события, то есть события, которые не могут произойти одновременно. В этом случае вероятность наступления хотя бы одного из этих событий равна сумме их индивидуальных вероятностей. | ||
| + | |||
| + | $\textbf{б.}$ Из решения подзадачи $\textbf{а.}$ мы знаем, что вероятность того, что обе молекулы окажутся в одной и той же половине (либо обе в левой, либо обе в правой) равна: $p_{2}=\frac{1}{2}$. Так как молекулы могут быть либо вместе в одной половине, либо в разных, суммарная вероятность этих двух событий равна 1. Тогда вероятность того, что молекулы окажутся в разных половинах: | ||
| + | |||
| + | $$p=1-p_{2}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$$ | ||
| + | |||
| + | $\textbf{в.}$ Для нас не имеет значения какие именно две молекулы окажуться в левой половине сосуда. Число способов выбрать две молекулы из трёх: | ||
| + | |||
| + | $$C(n, k) = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}$$ | ||
| + | $$C(3, 2) = \frac{3!}{2! \cdot (3-2)!}=3$$ | ||
| + | |||
| + | Вероятность того, что каждая конкретная молекула окажется в левой половине — $\frac{1}{2}$, а вероятность, что третья молекула окажется в правой — также $\frac{1}{2}$. С учётом того, что эти независимые события должны произойти одновременно, получим искомую вероятность такого состояния: | ||
| + | |||
| + | $$p_{2}=3\cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{3}{8}$$ | ||
| + | |||
| + | Вероятность того, что в левой половине нет ни одной молекулы это означает, что все три молекулы должны оказаться в правой половине. Так как вероятность нахождения одной молекулы в правой половине — $\frac{1}{2}$, а молекулы независимы, то вероятность, что все три окажутся в правой половине одновременно: | ||
| + | |||
| + | $$p_{0}=\left( \frac{1}{2} \right)^{3}=\frac{1}{8}$$ | ||
| + | |||
| #### Ответ | |||
| − | [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | ||
| + | $\textbf{а.}$ $p_{1}=\frac{1}{4}, p_{2}=\frac{1}{2}$ | ||
| + | |||
| + | $\textbf{б.}$ $p=\frac{1}{2}$ | ||
| + | |||
| + | $\textbf{в.}$ $p_{2}=\frac{3}{8}, p_{0}=\frac{1}{8}$ | ||
| @@ -1,11 +1,47 @@ | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $5.8.2.$ [Вставьте условие задачи] | $5.8.2.$ Долю времени, в течение которого частицы находятся в каком-либо состоянии, часто называют вероятностью этого состояния. | ||
| $\textbf{а.}$ В сосуде находятся две молекулы. Чему равна вероятность того, что обе молекулы будут находиться в левой половине сосуда? в любой из половин? | |||
| $\textbf{б.}$ Чему равна вероятность того, что молекулы будут находиться в разных половинах сосуда? | |||
| $\textbf{в.}$ В сосуде находятся три молекулы. Чему равна вероятность того, что две молекулы будут находиться в левой половине сосуда и что в левой половине сосуда не будет ни одной молекулы? | |||
| ### Решение | ### Решение | ||
| вып | $\textbf{а.}$ Предположим, что молекулы движутся хаотично и независимо друг от друга, а вероятность нахождения одной молекулы в любой половине сосуда равна $\frac{1}{2}$. Тогда вероятность того, что обе молекулы окажутся в левой половине (для независимых событий A и B, вероятность их совместного наступления равна произведению вероятностей этих событий): | ||
| $$p_{1}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$$ | |||
| Событие того, что обе молекулы окажутся в любой из половин, может произойти двумя способами: обе молекулы находятся в левой половине (эту вероятность мы определили и она равна $\frac{1}{4}$) или обе молекулы находятся в правой половине (аналогично, вероятность также $\frac{1}{4}$). Следовательно, суммарная вероятность: | |||
| $$p_{2}=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$$ | |||
| Напомню, что вероятности событий суммируются, когда рассматриваются несовместимые события, то есть события, которые не могут произойти одновременно. В этом случае вероятность наступления хотя бы одного из этих событий равна сумме их индивидуальных вероятностей. | |||
| $\textbf{б.}$ Из решения подзадачи $\textbf{а.}$ мы знаем, что вероятность того, что обе молекулы окажутся в одной и той же половине (либо обе в левой, либо обе в правой) равна: $p_{2}=\frac{1}{2}$. Так как молекулы могут быть либо вместе в одной половине, либо в разных, суммарная вероятность этих двух событий равна 1. Тогда вероятность того, что молекулы окажутся в разных половинах: | |||
| $$p=1-p_{2}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$$ | |||
| $\textbf{в.}$ Для нас не имеет значения какие именно две молекулы окажуться в левой половине сосуда. Число способов выбрать две молекулы из трёх: | |||
| $$C(n, k) = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}$$ | |||
| $$C(3, 2) = \frac{3!}{2! \cdot (3-2)!}=3$$ | |||
| Вероятность того, что каждая конкретная молекула окажется в левой половине — $\frac{1}{2}$, а вероятность, что третья молекула окажется в правой — также $\frac{1}{2}$. С учётом того, что эти независимые события должны произойти одновременно, получим искомую вероятность такого состояния: | |||
| $$p_{2}=3\cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{3}{8}$$ | |||
| Вероятность того, что в левой половине нет ни одной молекулы это означает, что все три молекулы должны оказаться в правой половине. Так как вероятность нахождения одной молекулы в правой половине — $\frac{1}{2}$, а молекулы независимы, то вероятность, что все три окажутся в правой половине одновременно: | |||
| $$p_{0}=\left( \frac{1}{2} \right)^{3}=\frac{1}{8}$$ | |||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | $\textbf{а.}$ $p_{1}=\frac{1}{4}, p_{2}=\frac{1}{2}$ | ||
| $\textbf{б.}$ $p=\frac{1}{2}$ | |||
| $\textbf{в.}$ $p_{2}=\frac{3}{8}, p_{0}=\frac{1}{8}$ | |||