Edit to “Решение”
ru/13.4.23.md
+17 −2
| ### Условие | |||
| $13.4.23.$ Интенсивность света маяка на расстоянии $L$ уменьшилась из-за тумана на 10 %. Радиус капель тумана $r$. Оцените количество капель тумана в единице объема воздуха. | |||
| ### Решение | |||
| Опишем физическую модель взаимодействия света с частицами тумана, которую будем использовать при решении данной задачи. Будем считать, что интенсивность света при прохождении через туман уменьшается из-за процессов поглощения. Влиянием процесса рассеивания света на частицах тумана мы пренебрегаем. Это можно допустить при условии, что размер наших капель больше, чем длина световой волны. Так же будем считать капли тумана идеальными сферами с площадью поперечного сечения равной $S=\pi r^{2}$. При поглощении света будем считать, что энергия света полностью переходит во внутреннюю энергию капли тумана. Это означает, что уменьшение интенсивности света связано с уменьшением количества фотонов в пучке из-за встречи фотоном на своём пути капли. Капля тумана как бы "уничтожает фотон", а его энергия рассеивается в виде тепла. Капля может поглотить сколько угодно фотонов. | |||
| @@ -8,7 +8,7 @@Решение | |||
| Выделим двумя параллельными плоскостями, расстояние между которыми бесконечно малая величина $dx$, некоторый объём $V$. Свет распространяется перпендикулярно нашим плоскостям. Пусть в нашем объёме будет находится $N$ капель тумана. Если фотон попадёт в объём цилиндра $V_{k}=\pi r^{2}dx$, где будет хотя бы одна капля, он объязательно поглотится. | |||
| − | Вероятность того, что фотон будет поглощён каплей, будет равна отношению объёма, в котором мо | ||
| + | Вероятность того, что фотон будет поглощён каплей, будет равна отношению объёма, в котором могут находится капли, ко всему выделенному объёму пространства: | ||
| $$p=\frac{N\pi r^{2}dx}{V} \tag{1}$$ | |||
| С другой стороны, если на входе в наш объём интенсивность пучка света была $I$, а на выходе стала $I-dI$, то разница $-dI$ характеризует количество поглощённых фотонов. Но отношение поглощённых фотонов к их общему числу и есть вероятность поглощения: | |||
| $$p=\frac{-dI}{I} \tag{2}$$ | |||
| Приравняем (1) и (2): | |||
| @@ -20,8 +20,23 @@Решение | |||
| $$-\frac{dI}{I}=\frac{N\pi r^{2}dx}{V}$$ | |||
| − | |||
| + | Проинтегрируем дифференциальное уравнение в пределах изменения интенсивности от $I_{0}$ до $0,9I_{0}$ (по условию задачи уменьшилась интенсивность на 10%) и по $x$ от 0 до $L$: | ||
| + | |||
| + | $$\int_{I_{0}}^{0.9I_{0}}\frac{dI}{I}=-\frac{N\pi r^{2}}{V}\int_{0}^{L}dx$$ | ||
| + | $$\ln\frac{0,9I_{0}}{I_{0}}=-\frac{N\pi r^{2}}{V}L$$ | ||
| + | $$\ln0,9=-\frac{N}{V}\pi r^{2}L$$ | ||
| + | |||
| + | Отсюда найдём количество капель тумана в единице объема воздуха $n$: | ||
| + | |||
| + | $$n=\frac{N}{V}=\frac{-\ln0,9}{\pi r^{2}L}$$ | ||
| + | |||
| + | Число: | ||
| + | $$-\ln0,9\approx 0,1=\frac{1}{10}$$ | ||
| + | |||
| + | Окончательно получим: | ||
| + | |||
| + | $$n\approx \frac{1}{10\pi r^{2}L}=\left( 10\pi r^{2}L \right)^{-1}$$ | ||
| #### Ответ | |||
| $n\approx (10\pi r^{2}L)^{-1}$ | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $13.4.23.$ Интенсивность света маяка на расстоянии $L$ уменьшилась из-за тумана на 10 %. Радиус капель тумана $r$. Оцените количество капель тумана в единице объема воздуха. | $13.4.23.$ Интенсивность света маяка на расстоянии $L$ уменьшилась из-за тумана на 10 %. Радиус капель тумана $r$. Оцените количество капель тумана в единице объема воздуха. | ||
| ### Решение | ### Решение | ||
| Опишем физическую модель взаимодействия света с частицами тумана, которую будем использовать при решении данной задачи. Будем считать, что интенсивность света при прохождении через туман уменьшается из-за процессов поглощения. Влиянием процесса рассеивания света на частицах тумана мы пренебрегаем. Это можно допустить при условии, что размер наших капель больше, чем длина световой волны. Так же будем считать капли тумана идеальными сферами с площадью поперечного сечения равной $S=\pi r^{2}$. При поглощении света будем считать, что энергия света полностью переходит во внутреннюю энергию капли тумана. Это означает, что уменьшение интенсивности света связано с уменьшением количества фотонов в пучке из-за встречи фотоном на своём пути капли. Капля тумана как бы "уничтожает фотон", а его энергия рассеивается в виде тепла. Капля может поглотить сколько угодно фотонов. | Опишем физическую модель взаимодействия света с частицами тумана, которую будем использовать при решении данной задачи. Будем считать, что интенсивность света при прохождении через туман уменьшается из-за процессов поглощения. Влиянием процесса рассеивания света на частицах тумана мы пренебрегаем. Это можно допустить при условии, что размер наших капель больше, чем длина световой волны. Так же будем считать капли тумана идеальными сферами с площадью поперечного сечения равной $S=\pi r^{2}$. При поглощении света будем считать, что энергия света полностью переходит во внутреннюю энергию капли тумана. Это означает, что уменьшение интенсивности света связано с уменьшением количества фотонов в пучке из-за встречи фотоном на своём пути капли. Капля тумана как бы "уничтожает фотон", а его энергия рассеивается в виде тепла. Капля может поглотить сколько угодно фотонов. | ||
| @@ -8,7 +8,7 @@Решение | |||
| Выделим двумя параллельными плоскостями, расстояние между которыми бесконечно малая величина $dx$, некоторый объём $V$. Свет распространяется перпендикулярно нашим плоскостям. Пусть в нашем объёме будет находится $N$ капель тумана. Если фотон попадёт в объём цилиндра $V_{k}=\pi r^{2}dx$, где будет хотя бы одна капля, он объязательно поглотится. | Выделим двумя параллельными плоскостями, расстояние между которыми бесконечно малая величина $dx$, некоторый объём $V$. Свет распространяется перпендикулярно нашим плоскостям. Пусть в нашем объёме будет находится $N$ капель тумана. Если фотон попадёт в объём цилиндра $V_{k}=\pi r^{2}dx$, где будет хотя бы одна капля, он объязательно поглотится. | ||
| Вероятность того, что фотон будет поглощён каплей, будет равна отношению объёма, в котором мо |
Вероятность того, что фотон будет поглощён каплей, будет равна отношению объёма, в котором могут находится капли, ко всему выделенному объёму пространства: | ||
| $$p=\frac{N\pi r^{2}dx}{V} \tag{1}$$ | $$p=\frac{N\pi r^{2}dx}{V} \tag{1}$$ | ||
| С другой стороны, если на входе в наш объём интенсивность пучка света была $I$, а на выходе стала $I-dI$, то разница $-dI$ характеризует количество поглощённых фотонов. Но отношение поглощённых фотонов к их общему числу и есть вероятность поглощения: | С другой стороны, если на входе в наш объём интенсивность пучка света была $I$, а на выходе стала $I-dI$, то разница $-dI$ характеризует количество поглощённых фотонов. Но отношение поглощённых фотонов к их общему числу и есть вероятность поглощения: | ||
| $$p=\frac{-dI}{I} \tag{2}$$ | $$p=\frac{-dI}{I} \tag{2}$$ | ||
| Приравняем (1) и (2): | Приравняем (1) и (2): | ||
| @@ -20,8 +20,23 @@Решение | |||
| $$-\frac{dI}{I}=\frac{N\pi r^{2}dx}{V}$$ | $$-\frac{dI}{I}=\frac{N\pi r^{2}dx}{V}$$ | ||
| Проинтегрируем дифференциальное уравнение в пределах изменения интенсивности от $I_{0}$ до $0,9I_{0}$ (по условию задачи уменьшилась интенсивность на 10%) и по $x$ от 0 до $L$: | |||
| $$\int_{I_{0}}^{0.9I_{0}}\frac{dI}{I}=-\frac{N\pi r^{2}}{V}\int_{0}^{L}dx$$ | |||
| $$\ln\frac{0,9I_{0}}{I_{0}}=-\frac{N\pi r^{2}}{V}L$$ | |||
| $$\ln0,9=-\frac{N}{V}\pi r^{2}L$$ | |||
| Отсюда найдём количество капель тумана в единице объема воздуха $n$: | |||
| $$n=\frac{N}{V}=\frac{-\ln0,9}{\pi r^{2}L}$$ | |||
| Число: | |||
| $$-\ln0,9\approx 0,1=\frac{1}{10}$$ | |||
| Окончательно получим: | |||
| $$n\approx \frac{1}{10\pi r^{2}L}=\left( 10\pi r^{2}L \right)^{-1}$$ | |||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| $n\approx (10\pi r^{2}L)^{-1}$ | $n\approx (10\pi r^{2}L)^{-1}$ | ||