Edits to “Условие”, “Решение”, “Ответ”
ru/13.4.21.md
+36 −3
| @@ -1,11 +1,44 @@ | |||
| ### Условие | |||
| − | $13.4.21.$ [Вставьте условие задачи] | ||
| + | $13.4.21.$ Жука фотографируют в двух масштабах, поднося аппарат на расстояние, равное сначала тройному, а затем пятикратному фокусному расстоянию объектива. Как нужно изменить диаметр диафрагмы объектива, чтобы освещенность изображения на пленке в обоих случаях была одинаковой? Диаметр диафрагмы в обоих случаях много меньше расстояния до жука. | ||
| ### Решение | |||
| − | dfs | ||
| + | Поскольку диаметр диафрагмы много меньше расстояния до жука, то жука можно считать точечным источником, свет от которого приходит на объектив почти параллельными лучами. | ||
| + | Чем больше будет площадь диафрагмы, тем больший поток света будет попадать на плёнку от жука и, соответственно, освещённость плёнки будет больше. То есть $E\sim d^{2}$, где $d$ - диаметр диафрагмы. С другой стороны освещённость поверхности будет тем меньше, чем больше расстояние до неё. Если точечный источник энергии создает поток $\Phi$, то в изотропной, однородной среде освещённость сферы радиусом $b$ по определению будет: | ||
| + | |||
| + | $$E=\frac{\Phi}{S}=\frac{\Phi}{4\pi b^{2}}\sim \frac{1}{b^{2}}$$ | ||
| + | |||
| + | В нашей задаче $b$ это расстояние от объектива до изображения. Итак, освещённость плёнки будет прямо пропорциональна квадрату диаметра диафрагмы и обратно пропорциональна квадрату расстояния между объективом и изображением: | ||
| + | |||
| + | $$E\sim \left( \frac{d}{b} \right)^{2}$$ | ||
| + | |||
| + | По условию задачи у нас освещённость в обоих режимах съемки одинакова: | ||
| + | |||
| + | $$E_{1}=E_{2}$$ | ||
| + | $$\left( \frac{d_{1}}{b_{1}} \right)^{2}=\left( \frac{d_{2}}{b_{2}} \right)^{2}$$ | ||
| + | |||
| + | Отсюда $d_{2}$: | ||
| + | |||
| + | $$d_{2}=\frac{b_{2}}{b_{1}}d_{1} \tag{1}$$ | ||
| + | |||
| + | Для нахождения расстояний $b_{1}$ и $b_{2}$ воспользуемся уравнением линзы: | ||
| + | |||
| + | $$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{f}\Longrightarrow \frac{1}{b}=\frac{1}{f}-\frac{1}{a}$$ | ||
| + | |||
| + | Для $a=a_{1}=3f$: | ||
| + | |||
| + | $$\frac{1}{b_{1}}=\frac{1}{f}-\frac{1}{3f}=\frac{2}{3f}\Longrightarrow b_{1}=\frac{3f}{2}$$ | ||
| + | |||
| + | Для $a=a_{2}=5f$: | ||
| + | |||
| + | $$\frac{1}{b_{2}}=\frac{1}{f}-\frac{1}{5f}=\frac{4}{5f}\Longrightarrow b_{2}=\frac{5f}{4}$$ | ||
| + | |||
| + | Подставим найденные значения в (1): | ||
| + | |||
| + | $$d_{2}=\frac{\frac{5f}{4}}{\frac{3f}{2}}d_{1}=\frac{5}{6}d_{1}$$ | ||
| + | |||
| #### Ответ | |||
| − | [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | ||
| + | $d_{2}=\frac{5}{6}d_{1}$ | ||
| @@ -1,11 +1,44 @@ | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $13.4.21.$ [Вставьте условие задачи] | $13.4.21.$ Жука фотографируют в двух масштабах, поднося аппарат на расстояние, равное сначала тройному, а затем пятикратному фокусному расстоянию объектива. Как нужно изменить диаметр диафрагмы объектива, чтобы освещенность изображения на пленке в обоих случаях была одинаковой? Диаметр диафрагмы в обоих случаях много меньше расстояния до жука. | ||
| ### Решение | ### Решение | ||
| dfs | Поскольку диаметр диафрагмы много меньше расстояния до жука, то жука можно считать точечным источником, свет от которого приходит на объектив почти параллельными лучами. | ||
| Чем больше будет площадь диафрагмы, тем больший поток света будет попадать на плёнку от жука и, соответственно, освещённость плёнки будет больше. То есть $E\sim d^{2}$, где $d$ - диаметр диафрагмы. С другой стороны освещённость поверхности будет тем меньше, чем больше расстояние до неё. Если точечный источник энергии создает поток $\Phi$, то в изотропной, однородной среде освещённость сферы радиусом $b$ по определению будет: | |||
| $$E=\frac{\Phi}{S}=\frac{\Phi}{4\pi b^{2}}\sim \frac{1}{b^{2}}$$ | |||
| В нашей задаче $b$ это расстояние от объектива до изображения. Итак, освещённость плёнки будет прямо пропорциональна квадрату диаметра диафрагмы и обратно пропорциональна квадрату расстояния между объективом и изображением: | |||
| $$E\sim \left( \frac{d}{b} \right)^{2}$$ | |||
| По условию задачи у нас освещённость в обоих режимах съемки одинакова: | |||
| $$E_{1}=E_{2}$$ | |||
| $$\left( \frac{d_{1}}{b_{1}} \right)^{2}=\left( \frac{d_{2}}{b_{2}} \right)^{2}$$ | |||
| Отсюда $d_{2}$: | |||
| $$d_{2}=\frac{b_{2}}{b_{1}}d_{1} \tag{1}$$ | |||
| Для нахождения расстояний $b_{1}$ и $b_{2}$ воспользуемся уравнением линзы: | |||
| $$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{f}\Longrightarrow \frac{1}{b}=\frac{1}{f}-\frac{1}{a}$$ | |||
| Для $a=a_{1}=3f$: | |||
| $$\frac{1}{b_{1}}=\frac{1}{f}-\frac{1}{3f}=\frac{2}{3f}\Longrightarrow b_{1}=\frac{3f}{2}$$ | |||
| Для $a=a_{2}=5f$: | |||
| $$\frac{1}{b_{2}}=\frac{1}{f}-\frac{1}{5f}=\frac{4}{5f}\Longrightarrow b_{2}=\frac{5f}{4}$$ | |||
| Подставим найденные значения в (1): | |||
| $$d_{2}=\frac{\frac{5f}{4}}{\frac{3f}{2}}d_{1}=\frac{5}{6}d_{1}$$ | |||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | $d_{2}=\frac{5}{6}d_{1}$ | ||