Edit to “Решение”

emixter edited
View solution History
revision #14094 parent #14093 ← older
ru/13.4.16.md +36 −0
@@ -16,7 +16,43 @@Решение
Это достаточно малый угол, поэтому для него будем считать $\sin\theta\approx \theta$ и $\tan\theta\approx \theta$.
+Падающий солнечный поток через площадь зеркала:
+
+$$\Phi=q\cdot S=q\cdot \frac{\pi D^{2}}{4} \tag{1}$$
+
+здесь $q$ - плотность потока энергии. Радиус изображения Солнца в фокусе зеркала:
+
+$$r=F\tan\frac{\theta}{2}\approx F\cdot \frac{\theta}{2}=\frac{R}{2}\cdot \frac{\theta}{2}=\frac{R\theta}{4}$$
+
+где $F=\frac{R}{2}$ - фокус сферического зеркала. Площадь изображения Солнца:
+
+$$S_{c}=\pi r^{2}=\pi\left( \frac{R\theta}{4} \right)^{2}=\frac{\pi R^{2}\theta^{2}}{16} \tag{2}$$
+
+Освещённость в фокусе будет по определению:
+
+$$E=\frac{\Phi}{S_{c}} \tag{3}$$
+
+Подставим выражения (1) и (2) в (3):
+
+$$E=\frac{q\cdot \frac{\pi D^{2}}{4}}{\frac{\pi R^{2}\theta^{2}}{16}}=\frac{4qD^{2}}{R^{2}\theta^{2}} \tag{4}$$
+
+Плотность солнечного потока $q$ на Земле можно выразить через яркость $B$ (по определению яркости):
+
+$$q=B\cdot \Omega$$
+
+где $\Omega$ - угловое телесное пространство, занимаемое Солнцем на небе, видимое с Земли. Свяжем телесный угол с угловым размером. По определению:
+
+$$\Omega=\frac{\pi (R_{ор}\cdot\frac{\theta}{2})^{2}}{R_{ор}^{2}}=\frac{\pi \theta^{2}}{4} \tag{5}$$
+
+Для плотности потока $q$ получим:
+
+$$q=B\cdot\frac{\pi \theta^{2}}{4} \tag{6}$$
+
+Подставим (6) в (4):
+
+$$E=\frac{4D^{2}}{R^{2}\theta^{2}}\cdot B\cdot\frac{\pi \theta^{2}}{4}=\frac{\pi D^{2}}{R^{2}}B$$
+
#### Ответ
Нет.
$$E_{max}=\frac{B\pi D^{2}}{R^{2}}$$