Решение

Считаем, что ток меняется по закону $I=kt$, где $k$ есть постоянный коэффициент (ток начинает меняться с нуля, так как через катушку он не может измениться скачком в момент коммутации).

Второе правило Кирхгофа:

$$L\frac{di}{dt}+\frac{q}{C}=0,$$

где $q$ и $C$ есть заряд и емкость конденсатора, которые могут меняться во времени.

Производная $di/dt=d(kt)/dt=k$ (см. первый абзац). Так что:

$$Lk+\frac{q}{C}=0$$

и

$$C=-\frac{q}{Lk}.$$

Заряд можно представить через интеграл, затем можно взять необходимый интеграл:

$$C=-\frac{1}{Lk}\int i\,dt=-\frac{1}{Lk}\int kt\,dt=-\frac{1}{L}\left(\frac{t^2}{2}+A\right),$$

где $A$ есть постоянная интегрирования, которая находится из начального условия при $t=0$:

$$C_0=-\frac{1}{L}\big(0+A\big),$$

откуда:

$$A=-LC_0.$$

Искомая зависимость:

$$C=-\frac{1}{L}\left(\frac{t^2}{2}-LC_0\right)=C_0-\frac{t^2}{2L},$$

что можем представить в виде:

$$C=C_0\left(1-\frac{t^2}{2LC_0}\right).$$