Решение

Пусть твердое тело вращается вокруг неподвижной оси. Разобьём его на бесконечно малые частицы массой $m_{i}$, находящиеся на расстоянии $r_{i}$ от оси вращения.

Каждая такая частица при вращении перемещается по дуге. Пусть на неё действует сила $\vec F_{i}$ и за малое время она смещается на дугу $ds_{i}=r_{i}d\varphi$, где $d\varphi$ - малый угол поворота.

Работа, совершаемая силой $\vec F_{i}$ над частицей:

$$dA_{i}=\vec F_{i}\cdot d\vec r_{i}$$

Оставим только тангенциальную (касательную) составляющую силы: $F_{i,\tau}$, так как нормальная не совершает работы.

$$dA_{i}=F_{i,\tau}\cdot ds_{i}=F_{i,\tau}\cdot r_{i}d\varphi$$

Суммарная работа по всем частицам:

$$dA=\sum_{i} F_{i,\tau}\cdot r_{i}d\varphi=\left( \sum_{i} F_{i,\tau}\cdot r_{i} \right)d\varphi$$

А выражение в скобках — это и есть суммарный момент силы $M$:

$$M=\sum_{i} F_{i,\tau}\cdot r_{i}$$

Таким образом:

$$dA=Md\varphi \Rightarrow A=\int Md\varphi$$

Если $M=const$, то:

$$A=M\varphi \tag{1}$$

Рассмотрим движение той же системы частиц. Каждая частица массой $m_{i}$, находясь на расстоянии $r_{i}$, движется с тангенциальным ускорением:

$$a_{i,\tau}=r_{i}\beta$$

где $\beta$ — угловое ускорение всего тела (оно общее для всех частиц, так как твердое тело).

Касательная сила, действующая на частицу, по второму закону Ньютона:

$$F_{i,\tau}=m_{i}a_{i,\tau}=m_{i}r_{i}\beta$$

Теперь выразим момент этой силы:

$$M_{i}=F_{i,\tau}\cdot r_{i}=m_{i}r_{i}\beta \cdot r_{i}=m_{i}r_{i}^{2}\beta$$

Суммарный момент всех сил:

$$M=\sum_{i}M_{i}=\sum_{i}m_{i}r_{i}^{2}\beta=\beta \sum_{i}m_{i}r_{i}^{2}=\beta J$$

где $J=\sum_{i}m_{i}r_{i}^{2}$ - момент инерции относительно оси вращения. Отсюда:

$$\beta=\frac{M}{J}$$