Решение

Работа будет равна разности конечной и начальной электростатических энергий. Поскольку силы электрического отталкивания мешают сжатию системы, работа пойдёт на преодоление этого сопротивления. Поскольку ртуть это проводник, то заряд в капле будет распределён по поверхности. Внутри капли электрическое поле будет равно 0, поэтому мы вправе использовать формулу для энергии электрического поля сферы радиуса $r$ и с зарядом $q$ для одной капли (см. задачу $6.5.15$):

$$w=\frac{q^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}r}$$

Общая энергия $N$ маленьких капель:

$$W_{1}=Nw=\frac{Nq^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}r} \tag{1}$$

Энергия одной большой капли радиуса $R$, с зарядом $Q$:

$$W_{2}=\frac{Q^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}R}$$

Заряд большой капли равен сумме зарядов маленьких капель: $Q=Nq \Rightarrow q=\frac{Q}{N}$. Кроме того, объём большой капли будет равен сумме объёмов маленьких капель:

$$\frac{4}{3}\pi R^{3}=N\frac{4}{3}\pi r^{3}$$
$$r=RN^{-\frac{1}{3}}$$

Подставим $q$ и $r$ в (1):

$$W_{1}=\frac{N\left( \frac{Q}{N} \right)^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}RN^{-\frac{1}{3}}}=\frac{Q^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}RN^{\frac{2}{3}}}=\frac{Q^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}R}N^{-\frac{2}{3}}$$

Работа будет равна:

$$A=W_{2}-W_{1}=\frac{Q^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}R}-\frac{Q^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}R}N^{-\frac{2}{3}}=\frac{Q^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}R}\left( 1-N^{-\frac{2}{3}} \right)$$