Edits to “Условие”, “Решение”, “Ответ”
ru/6.5.21.md
+33 −3
| @@ -1,11 +1,41 @@ | |||
| ### Условие | |||
| − | $6.5.21.$ [Вставьте условие задачи] | ||
| + | $6.5.21.$ Заряженное тело сжали так, что все его линейные размеры уменьшились в $n$ раз. Во сколько раз увеличилась энергия электрического поля этого тела? | ||
| ### Решение | |||
| − | рпо | ||
| + | Разобъём наше тело на бесконечно малые области с точечным зарядом $dq$, тогда такой заряд будет создавать электрическое поле в точке с координатой ($x$, $y$, $z$) в декартовой системе: | ||
| + | $$E=\frac{1}{4\pi \varepsilon_{0}}\cdot \frac{dq}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$$ | ||
| + | |||
| + | Энергия электростатического поля равна: | ||
| + | |||
| + | $$W=\frac{1}{2}\varepsilon_{0}\int E^{2}dV$$ | ||
| + | |||
| + | Элементарный объём в декартовой системе: $dV=dxdydz$. Подставляя всё в формулу для энергии, получим: | ||
| + | |||
| + | $$W=\frac{1}{2}\varepsilon_{0}\int \left( \frac{1}{4\pi \varepsilon_{0}}\cdot \frac{dq}{x^{2}+y^{2}+z^{2}} \right)^{2}dxdydz=\frac{1}{32\pi^{2}\varepsilon_{0}}\int \left( \frac{dq}{x^{2}+y^{2}+z^{2}} \right)^{2}dxdydz \tag{1}$$ | ||
| + | |||
| + | Если у нашего тела все линейные размеры уменьшить в $n$ раз, то новые координаты будут: | ||
| + | |||
| + | $$x_{1}=\frac{x}{n}\Rightarrow x=nx_{1}$$ | ||
| + | $$y_{1}=\frac{y}{n}\Rightarrow y=ny_{1}$$ | ||
| + | $$z_{1}=\frac{z}{n}\Rightarrow z=nz_{1}$$ | ||
| + | |||
| + | Заряд тела не изменяется при сжатии. Подставим изменение координат в интеграл: | ||
| + | |||
| + | $$W=\frac{1}{32\pi^{2}\varepsilon_{0}}\int \left( \frac{dq}{x^{2}+y^{2}+z^{2}} \right)^{2}dxdydz=\frac{1}{32\pi^{2}\varepsilon_{0}}\int \left( \frac{dq}{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+z_{1}^{2}} \right)^{2}\cdot \frac{n^{3}}{n^{4}}\cdot dx_{1}dy_{1}dz_{1} \tag{2}$$ | ||
| + | |||
| + | Энергия электростатического поля тела с новыми размерами по аналогии с (1): | ||
| + | |||
| + | $$W_{1}=\frac{1}{32\pi^{2}\varepsilon_{0}}\int \left( \frac{dq}{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+z_{1}^{2}} \right)^{2}dx_{1}dy_{1}dz_{1}$$ | ||
| + | |||
| + | Тогда (2) можно переписать так: | ||
| + | |||
| + | $$W=\frac{n^{3}}{n^{4}}W_{1}=\frac{W_{1}}{n}$$ | ||
| + | |||
| + | Отсюда $W_{1}=n\cdot W$ - энергия увеличилась в $n$ раз. | ||
| + | |||
| #### Ответ | |||
| − | |||
| + | Увеличилась в $n$ раз. | ||
| @@ -1,11 +1,41 @@ | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $6.5.21.$ [Вставьте условие задачи] | $6.5.21.$ Заряженное тело сжали так, что все его линейные размеры уменьшились в $n$ раз. Во сколько раз увеличилась энергия электрического поля этого тела? | ||
| ### Решение | ### Решение | ||
| рпо | Разобъём наше тело на бесконечно малые области с точечным зарядом $dq$, тогда такой заряд будет создавать электрическое поле в точке с координатой ($x$, $y$, $z$) в декартовой системе: | ||
| $$E=\frac{1}{4\pi \varepsilon_{0}}\cdot \frac{dq}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$$ | |||
| Энергия электростатического поля равна: | |||
| $$W=\frac{1}{2}\varepsilon_{0}\int E^{2}dV$$ | |||
| Элементарный объём в декартовой системе: $dV=dxdydz$. Подставляя всё в формулу для энергии, получим: | |||
| $$W=\frac{1}{2}\varepsilon_{0}\int \left( \frac{1}{4\pi \varepsilon_{0}}\cdot \frac{dq}{x^{2}+y^{2}+z^{2}} \right)^{2}dxdydz=\frac{1}{32\pi^{2}\varepsilon_{0}}\int \left( \frac{dq}{x^{2}+y^{2}+z^{2}} \right)^{2}dxdydz \tag{1}$$ | |||
| Если у нашего тела все линейные размеры уменьшить в $n$ раз, то новые координаты будут: | |||
| $$x_{1}=\frac{x}{n}\Rightarrow x=nx_{1}$$ | |||
| $$y_{1}=\frac{y}{n}\Rightarrow y=ny_{1}$$ | |||
| $$z_{1}=\frac{z}{n}\Rightarrow z=nz_{1}$$ | |||
| Заряд тела не изменяется при сжатии. Подставим изменение координат в интеграл: | |||
| $$W=\frac{1}{32\pi^{2}\varepsilon_{0}}\int \left( \frac{dq}{x^{2}+y^{2}+z^{2}} \right)^{2}dxdydz=\frac{1}{32\pi^{2}\varepsilon_{0}}\int \left( \frac{dq}{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+z_{1}^{2}} \right)^{2}\cdot \frac{n^{3}}{n^{4}}\cdot dx_{1}dy_{1}dz_{1} \tag{2}$$ | |||
| Энергия электростатического поля тела с новыми размерами по аналогии с (1): | |||
| $$W_{1}=\frac{1}{32\pi^{2}\varepsilon_{0}}\int \left( \frac{dq}{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+z_{1}^{2}} \right)^{2}dx_{1}dy_{1}dz_{1}$$ | |||
| Тогда (2) можно переписать так: | |||
| $$W=\frac{n^{3}}{n^{4}}W_{1}=\frac{W_{1}}{n}$$ | |||
| Отсюда $W_{1}=n\cdot W$ - энергия увеличилась в $n$ раз. | |||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| Увеличилась в $n$ раз. | |||