Решение

Пусть $q_{r}$ - заряд на сфере радиуса $r$, а $q_{2r}$ - заряд на сфере радиуса $2r$.

Потенциал на внешней сфере будет складываться из суммы потенциалов создающий зарядом внутренней сферой и потенциалом создающим зарядом на внешней сфере:

$$\varphi=\varphi_{q_{r}}+\varphi_{q_{2r}}$$

Потенциал заряда $q_{r}$ на расстоянии $2r$:

$$\varphi_{q_{r}}(2r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot \frac{q_{r}}{2r}$$

Потенциал заряда $q_{2r}$ на поверхности внешней сферы:

$$\varphi_{q_{2r}}(2r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot \frac{q_{2r}}{2r}$$

Суммарный потенциал на внешней сфере:

$$\varphi=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot \frac{q_{r}}{2r}+\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot \frac{q_{2r}}{2r}$$
$$\varphi=\frac{q_{r}+q_{2r}}{8\pi\varepsilon_{0}r}$$

Отсюда найдём сумму зарядов:

$$q_{r}+q_{2r}=8\pi\varepsilon_{0}r\varphi \tag{1}$$

Теперь используем то, что внутренняя сфера заземлена, т.е. её потенциал ноль. Потенциал на внутренней сфере будет также суммой двух потенциалов. Первый создаётся на поверхности самим зарядом сферы $q_{r}$, а второй потенциал создан внешней сферой и внутри внешней сферы он постоянен. Запишем это:

$$\varphi_{q_{r}}(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot \frac{q_{r}}{r}$$
$$\varphi_{q_{2r}}(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot \frac{q_{2r}}{2r}$$

Сумма этих потенциалов должна равняться 0:

$$\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot \frac{q_{r}}{r}+\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot \frac{q_{2r}}{2r}=0$$

Отсюда получаем:

$$2q_{r}+q_{2r}=0 \tag{2}$$

Вычтем из выражения (2) выражение (1) и сразу получим $q_{r}$:

$$q_{r}=-8\pi\varepsilon_{0}r\varphi$$

Подставляя $q_{r}$ в (2) найдём $q_{2r}$:

$$q_{2r}=-2q_{r}=16\pi\varepsilon_{0}r\varphi$$