Edit to “Решение”
ru/6.3.25.md
+18 −0
| ### Условие | |||
| $6.3.25.$ Равномерно заряженный шар радиуса $R$ имеет объемную плотность заряда $\rho$. Найдите напряженность поля и потенциал шара в зависимости от расстояния до его центра. | |||
| ### Решение | |||
| Общий заряд шара: | |||
| $$Q=\frac{4}{3}\rho\pi R^{3}$$ | |||
| Найдём напряжённость поля внутри шара $0\lt r\lt R$. Для этого воспользуемся теоремой Гаусса. Выберем сферическую поверхность радиуса $r\lt R$. Заряд внутри этой поверхности: | |||
| $$q=\frac{4}{3}\rho\pi r^{3}$$ | |||
| По теореме Гаусса: | |||
| $$E(r)\cdot 4\pi r^{2}=\frac{q}{\varepsilon_{0}}=\frac{4\rho\pi r^{3}}{3\varepsilon_{0}}$$ | |||
| $$E(r)=\frac{\rho r}{3\varepsilon_{0}} \tag{1}$$ | |||
| Теперь найдём напряжённость поля снаружи шара $r\gt R$. Весь заряд $Q$ заключён внутри сферы, тогда по теореме Гаусса: | |||
| @@ -22,11 +22,29 @@Решение | |||
| $$E(r)\cdot 4\pi r^{2}=\frac{Q}{\varepsilon_{0}}=\frac{4\rho\pi R^{3}}{3\varepsilon_{0}}$$ | |||
| $$E(r)=\frac{\rho R^{3}}{3\varepsilon_{0}r^{2}} \tag{2}$$ | |||
| + | Найдём потенциал снаружи шара $r\gt R$. На бесконечности потенциал равен нулю $\varphi(\infty )=0$. По определению разности потенциалов: | ||
| + | |||
| + | $$\varphi(r)-\varphi(\infty )=\frac{A_{r\infty }}{q_{0}}=\int_{r}^{\infty }E(r^{'})dr^{'}$$ | ||
| + | |||
| + | Используем формулу для напряжённости поля снаружи шара (2): | ||
| + | |||
| + | $$\varphi(r)=\int_{r}^{\infty }\frac{\rho R^{3}}{3\varepsilon_{0}r^{'2}}dr^{'}=\frac{\rho R^{3}}{3\varepsilon_{0}}\left[ -\frac{1}{r^{'}} \right]_{r}^{\infty }=\frac{\rho R^{3}}{3\varepsilon_{0}r} \tag{3}$$ | ||
| + | |||
| + | Потенциал на поверхности шара: | ||
| + | |||
| + | $$\varphi(R)=\frac{\rho R^{3}}{3\varepsilon_{0}R}=\frac{\rho R^{2}}{3\varepsilon_{0}} \tag{4}$$ | ||
| + | |||
| + | |||
| Найдём потенциал внутри шара $0\lt r\lt R$. По определению разности потенциалов: | |||
| $$\varphi(r)-\varphi(R)=\frac{A_{rR}}{q_{0}}=\int_{r}^{R}E(r^{'})dr^{'}$$ | |||
| $$\varphi(r)=\varphi(R)+\int_{r}^{R}E(r^{'})dr^{'}$$ | |||
| + | Используем формулу для напряжённости поля внутри шара (1): | ||
| + | |||
| + | $$\varphi(r)=\frac{\rho R^{2}}{3\varepsilon_{0}}+\int_{r}^{R}\frac{\rho r^{'}}{3\varepsilon_{0}}dr^{'}=\frac{\rho R^{2}}{3\varepsilon_{0}}+\frac{\rho}{3\varepsilon_{0}}\left[ \frac{1}{2}r^{'2} \right]_{r}^{R}=\frac{\rho R^{2}}{3\varepsilon_{0}}+\frac{\rho}{6\varepsilon_{0}}(R^{2}-r^{2})$$ | ||
| + | |||
| + | $$\varphi(r)=\frac{\rho R^{2}}{3\varepsilon_{0}}+\frac{\rho}{6\varepsilon_{0}}(R^{2}-r^{2})=\frac{\rho}{2\varepsilon_{0}}\left( R^{2}-\frac{r^{2}}{3} \right) \tag{5}$$ | ||
| #### Ответ | |||
| $E=\frac{\rho r}{3\varepsilon_{0}}$, $\varphi=\frac{\rho}{2\varepsilon_{0}}\left( R^{2}-\frac{r^{2}}{3} \right)$ при $0\lt r\lt R$ | |||
| $E=\frac{\rho R^{3}}{3\varepsilon_{0}r^{2}}$, $\varphi=\frac{\rho R^{3}}{3\varepsilon_{0}r}$ при $r\gt R$ | |||
| unchanged lines 3 | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $6.3.25.$ Равномерно заряженный шар радиуса $R$ имеет объемную плотность заряда $\rho$. Найдите напряженность поля и потенциал шара в зависимости от расстояния до его центра. | $6.3.25.$ Равномерно заряженный шар радиуса $R$ имеет объемную плотность заряда $\rho$. Найдите напряженность поля и потенциал шара в зависимости от расстояния до его центра. | ||
| ### Решение | ### Решение | ||
| Общий заряд шара: | Общий заряд шара: | ||
| $$Q=\frac{4}{3}\rho\pi R^{3}$$ | $$Q=\frac{4}{3}\rho\pi R^{3}$$ | ||
| Найдём напряжённость поля внутри шара $0\lt r\lt R$. Для этого воспользуемся теоремой Гаусса. Выберем сферическую поверхность радиуса $r\lt R$. Заряд внутри этой поверхности: | Найдём напряжённость поля внутри шара $0\lt r\lt R$. Для этого воспользуемся теоремой Гаусса. Выберем сферическую поверхность радиуса $r\lt R$. Заряд внутри этой поверхности: | ||
| $$q=\frac{4}{3}\rho\pi r^{3}$$ | $$q=\frac{4}{3}\rho\pi r^{3}$$ | ||
| По теореме Гаусса: | По теореме Гаусса: | ||
| $$E(r)\cdot 4\pi r^{2}=\frac{q}{\varepsilon_{0}}=\frac{4\rho\pi r^{3}}{3\varepsilon_{0}}$$ | $$E(r)\cdot 4\pi r^{2}=\frac{q}{\varepsilon_{0}}=\frac{4\rho\pi r^{3}}{3\varepsilon_{0}}$$ | ||
| $$E(r)=\frac{\rho r}{3\varepsilon_{0}} \tag{1}$$ | $$E(r)=\frac{\rho r}{3\varepsilon_{0}} \tag{1}$$ | ||
| Теперь найдём напряжённость поля снаружи шара $r\gt R$. Весь заряд $Q$ заключён внутри сферы, тогда по теореме Гаусса: | Теперь найдём напряжённость поля снаружи шара $r\gt R$. Весь заряд $Q$ заключён внутри сферы, тогда по теореме Гаусса: | ||
| @@ -22,11 +22,29 @@Решение | |||
| $$E(r)\cdot 4\pi r^{2}=\frac{Q}{\varepsilon_{0}}=\frac{4\rho\pi R^{3}}{3\varepsilon_{0}}$$ | $$E(r)\cdot 4\pi r^{2}=\frac{Q}{\varepsilon_{0}}=\frac{4\rho\pi R^{3}}{3\varepsilon_{0}}$$ | ||
| $$E(r)=\frac{\rho R^{3}}{3\varepsilon_{0}r^{2}} \tag{2}$$ | $$E(r)=\frac{\rho R^{3}}{3\varepsilon_{0}r^{2}} \tag{2}$$ | ||
| Найдём потенциал снаружи шара $r\gt R$. На бесконечности потенциал равен нулю $\varphi(\infty )=0$. По определению разности потенциалов: | |||
| $$\varphi(r)-\varphi(\infty )=\frac{A_{r\infty }}{q_{0}}=\int_{r}^{\infty }E(r^{'})dr^{'}$$ | |||
| Используем формулу для напряжённости поля снаружи шара (2): | |||
| $$\varphi(r)=\int_{r}^{\infty }\frac{\rho R^{3}}{3\varepsilon_{0}r^{'2}}dr^{'}=\frac{\rho R^{3}}{3\varepsilon_{0}}\left[ -\frac{1}{r^{'}} \right]_{r}^{\infty }=\frac{\rho R^{3}}{3\varepsilon_{0}r} \tag{3}$$ | |||
| Потенциал на поверхности шара: | |||
| $$\varphi(R)=\frac{\rho R^{3}}{3\varepsilon_{0}R}=\frac{\rho R^{2}}{3\varepsilon_{0}} \tag{4}$$ | |||
| Найдём потенциал внутри шара $0\lt r\lt R$. По определению разности потенциалов: | Найдём потенциал внутри шара $0\lt r\lt R$. По определению разности потенциалов: | ||
| $$\varphi(r)-\varphi(R)=\frac{A_{rR}}{q_{0}}=\int_{r}^{R}E(r^{'})dr^{'}$$ | $$\varphi(r)-\varphi(R)=\frac{A_{rR}}{q_{0}}=\int_{r}^{R}E(r^{'})dr^{'}$$ | ||
| $$\varphi(r)=\varphi(R)+\int_{r}^{R}E(r^{'})dr^{'}$$ | $$\varphi(r)=\varphi(R)+\int_{r}^{R}E(r^{'})dr^{'}$$ | ||
| Используем формулу для напряжённости поля внутри шара (1): | |||
| $$\varphi(r)=\frac{\rho R^{2}}{3\varepsilon_{0}}+\int_{r}^{R}\frac{\rho r^{'}}{3\varepsilon_{0}}dr^{'}=\frac{\rho R^{2}}{3\varepsilon_{0}}+\frac{\rho}{3\varepsilon_{0}}\left[ \frac{1}{2}r^{'2} \right]_{r}^{R}=\frac{\rho R^{2}}{3\varepsilon_{0}}+\frac{\rho}{6\varepsilon_{0}}(R^{2}-r^{2})$$ | |||
| $$\varphi(r)=\frac{\rho R^{2}}{3\varepsilon_{0}}+\frac{\rho}{6\varepsilon_{0}}(R^{2}-r^{2})=\frac{\rho}{2\varepsilon_{0}}\left( R^{2}-\frac{r^{2}}{3} \right) \tag{5}$$ | |||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| $E=\frac{\rho r}{3\varepsilon_{0}}$, $\varphi=\frac{\rho}{2\varepsilon_{0}}\left( R^{2}-\frac{r^{2}}{3} \right)$ при $0\lt r\lt R$ | $E=\frac{\rho r}{3\varepsilon_{0}}$, $\varphi=\frac{\rho}{2\varepsilon_{0}}\left( R^{2}-\frac{r^{2}}{3} \right)$ при $0\lt r\lt R$ | ||
| $E=\frac{\rho R^{3}}{3\varepsilon_{0}r^{2}}$, $\varphi=\frac{\rho R^{3}}{3\varepsilon_{0}r}$ при $r\gt R$ | $E=\frac{\rho R^{3}}{3\varepsilon_{0}r^{2}}$, $\varphi=\frac{\rho R^{3}}{3\varepsilon_{0}r}$ при $r\gt R$ | ||
| unchanged lines 3 | |||