Решение

Когда капли начинают падать внутрь шара, каждая новая капля сталкивается с электростатическим отталкиванием от уже накопленного заряда на шаре.

Если шар — идеальный, изолированный проводник, то его заряд распределяется по внешней поверхности. При попадании капли внутрь она передаёт свой заряд шару, и с ростом общего заряда шара растёт электрический потенциал шара, который создаёт электрическое поле, отталкивающее новые заряженные капли. Внутри металлического проводника в электростатическом равновесии электрическое поле равно нулю, и весь заряд оказывается на поверхности, то есть электростатически шар можно рассматривать как заряженную сферу. Процесс передачи каплей воды своего заряда можно считать мгновенным по сравнению с процессом капания капель.

Чтобы новая капля достигла шара, её кинетическая энергия при падении с высоты $h$ должна быть не меньше работы против электрического поля шара. Стоит отметить, когда шар ещё не заполнен водой полностью, то капле достаточно долететь до шара, внутри шара напряжённость электрического поля равна 0 и капля внутри шара движется лишь под действием силы гравитации.

Итак, $h$ - это высота капельницы над поверхностью шара. Критерием минимальности высоты будет то обстоятельство, что капля достигает поверхности шара с нулевой скоростью - вся потенциальная энергия гравитационного взаимодействия массы капли с Землей идёт на преодоление сил электростатического взаимодействия заряда капли с одноименным зарядом шара. Мы здесь пренебрегаем толщиной стенок полого шара.

Запишем закон сохранения энергии для процесса падения капли массы $m$ с зарядом $q$:

$$mgh=q\left[ \varphi(R)-\varphi(R+h) \right]$$

где $\varphi(R)$ это потенциал сферы радиуса $R$ на её поверхности, а $\varphi(R+h)$ это потенциал, которая заряженная сфера создаёт на расстоянии $h$ от её поверхности (на уровне начала падения капель).

Электрический потенциал в некоторой точке $r$ вне шара (электростатически у нас полая сфера) с полным зарядом $Q$:

$$\varphi(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot \frac{Q}{r}$$

Тогда закон сохранения энергии запишем:

$$mgh=q\left[\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot \frac{Q}{R}-\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot \frac{Q}{R+h} \right]$$

Преобразуем:

$$mgh=\frac{qQ}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot \left( \frac{1}{R}-\frac{1}{R+h} \right)=\frac{qQ}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot\frac{h}{R(R+h)}$$

$h\neq 0$ поскольку нас не интересует вариант, когда капельница стоит прямо над отверстием в шаре, тогда:

$$mg=\frac{qQ}{4\pi\varepsilon_{0}R(R+h)}$$

Массу капли воды выразим через плотность воды и объём капли:

$$m=\frac{4}{3}\rho\pi r^{3}$$

По закону сохранения заряда: $Q=Nq$, где $N$ - число капель нужных, чтобы заполнить шар водой. Это число можно найти из отношения объёмов шара к капле:

$$N=\frac{V_{шара}}{V_{капля}}=\frac{\frac{4}{3}\pi R^{3}}{\frac{4}{3}\pi r^{3}}=\left( \frac{R}{r} \right)^{3}$$