Edits to “Условие”, “Решение”, “Ответ”
ru/6.3.29.md
+31 −4
| @@ -1,11 +1,38 @@ | |||
| ### Условие | |||
| − | $6.3.29.$ [Вставьте условие задачи] | ||
| + | $6.3.29.$ По одну сторону от незаряженной металлической плоскости на расстоянии $h$ от нее находятся два одинаковых заряда $Q$. Определите силу, действующую на каждый из зарядов, если расстояние между ними $2h$. | ||
| ### Решение | |||
| − | dfgd | ||
| + |  | ||
| − | #### Ответ | ||
| + | Плоскость — проводящая и незаряженная. Чтобы учесть её влияние, используем метод зеркальных зарядов. Заменим влияние плоскости на систему эквивалентной системой из двух мнимых зарядов: для каждого настоящего заряда $Q$, на противоположной стороне плоскости симметрично ставится мнимый заряд $−Q$. Таким образом, мы получаем четыре заряда в вершинах квадрата со стороной $2h$. | ||
| − | |||
| + | Рассчитаем силу, действующую на левый заряд $Q$ от всех других зарядов (смотри рисунок). Сила Кулона $\vec F_{1}$, действующая на заряд $Q$ со стороны мнимого симметричного заряда $−Q$ в проекции на ось $Y$, будет: | ||
| + | |||
| + | $$F_{1}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot \frac{Q^{2}}{4h^{2}}$$ | ||
| + | |||
| + | Сила Кулона $\vec F_{2}$, действующая на заряд $Q$ со стороны соседнего заряда $Q$ в проекции на ось $X$, будет: | ||
| + | |||
| + | $$F_{2}=-\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot \frac{Q^{2}}{4h^{2}}$$ | ||
| + | |||
| + | Сила Кулона $\vec F_{3}$, действующая на заряд $Q$ со стороны мнимого несимметричного заряда $−Q$ будет действовать вдоль диагонали квадрата под углом $\frac{\pi}{4}$ к осям $X$ и $Y$. Расстояние между этими зарядами равно длине диагонали квадрата: $2\sqrt{2}h$. Модуль силы $\vec F_{3}$: | ||
| + | |||
| + | $$F_{3}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot \frac{Q^{2}}{8h^{2}}$$ | ||
| + | |||
| + | Распишем эту силу в проекциях на оси координат: | ||
| + | |||
| + | $$F_{3X}=F_{3}\cos\frac{\pi}{4}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot \frac{Q^{2}}{8\sqrt{2}h^{2}}$$ | ||
| + | $$F_{3Y}=F_{3}\cos\frac{\pi}{4}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot \frac{Q^{2}}{8\sqrt{2}h^{2}}$$ | ||
| + | |||
| + | Проекция результирующей силы, действующей на заряд $Q$, вдоль оси $X$ будет: | ||
| + | |||
| + | $$F_{X}=F_{3X}+F_{2}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot \frac{Q^{2}}{8\sqrt{2}h^{2}}-\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot \frac{Q^{2}}{4h^{2}}=\frac{Q^{2}}{16\pi\varepsilon_{0}h^{2}}\cdot \left( \frac{1}{2\sqrt{2}}-1 \right)$$ | ||
| + | |||
| + | Проекция результирующей силы, действующей на заряд $Q$, вдоль оси $Y$ будет: | ||
| + | |||
| + | $$F_{Y}=F_{3Y}+F_{1}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot \frac{Q^{2}}{8\sqrt{2}h^{2}}+\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot \frac{Q^{2}}{4h^{2}}=\frac{Q^{2}}{16\pi\varepsilon_{0}h^{2}}\cdot \left( \frac{1}{2\sqrt{2}}+1 \right)$$ | ||
| + | |||
| + | #### Ответ | ||
| + | |||
| + | $F=\frac{3Q^{2}}{32\pi\varepsilon_{0}h^{2}}$ | ||
| @@ -1,11 +1,38 @@ | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $6.3.29.$ [Вставьте условие задачи] | $6.3.29.$ По одну сторону от незаряженной металлической плоскости на расстоянии $h$ от нее находятся два одинаковых заряда $Q$. Определите силу, действующую на каждый из зарядов, если расстояние между ними $2h$. | ||
| ### Решение | ### Решение | ||
| dfgd |  | ||
| #### Ответ | Плоскость — проводящая и незаряженная. Чтобы учесть её влияние, используем метод зеркальных зарядов. Заменим влияние плоскости на систему эквивалентной системой из двух мнимых зарядов: для каждого настоящего заряда $Q$, на противоположной стороне плоскости симметрично ставится мнимый заряд $−Q$. Таким образом, мы получаем четыре заряда в вершинах квадрата со стороной $2h$. | ||
| Рассчитаем силу, действующую на левый заряд $Q$ от всех других зарядов (смотри рисунок). Сила Кулона $\vec F_{1}$, действующая на заряд $Q$ со стороны мнимого симметричного заряда $−Q$ в проекции на ось $Y$, будет: | |||
| $$F_{1}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot \frac{Q^{2}}{4h^{2}}$$ | |||
| Сила Кулона $\vec F_{2}$, действующая на заряд $Q$ со стороны соседнего заряда $Q$ в проекции на ось $X$, будет: | |||
| $$F_{2}=-\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot \frac{Q^{2}}{4h^{2}}$$ | |||
| Сила Кулона $\vec F_{3}$, действующая на заряд $Q$ со стороны мнимого несимметричного заряда $−Q$ будет действовать вдоль диагонали квадрата под углом $\frac{\pi}{4}$ к осям $X$ и $Y$. Расстояние между этими зарядами равно длине диагонали квадрата: $2\sqrt{2}h$. Модуль силы $\vec F_{3}$: | |||
| $$F_{3}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot \frac{Q^{2}}{8h^{2}}$$ | |||
| Распишем эту силу в проекциях на оси координат: | |||
| $$F_{3X}=F_{3}\cos\frac{\pi}{4}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot \frac{Q^{2}}{8\sqrt{2}h^{2}}$$ | |||
| $$F_{3Y}=F_{3}\cos\frac{\pi}{4}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot \frac{Q^{2}}{8\sqrt{2}h^{2}}$$ | |||
| Проекция результирующей силы, действующей на заряд $Q$, вдоль оси $X$ будет: | |||
| $$F_{X}=F_{3X}+F_{2}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot \frac{Q^{2}}{8\sqrt{2}h^{2}}-\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot \frac{Q^{2}}{4h^{2}}=\frac{Q^{2}}{16\pi\varepsilon_{0}h^{2}}\cdot \left( \frac{1}{2\sqrt{2}}-1 \right)$$ | |||
| Проекция результирующей силы, действующей на заряд $Q$, вдоль оси $Y$ будет: | |||
| $$F_{Y}=F_{3Y}+F_{1}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot \frac{Q^{2}}{8\sqrt{2}h^{2}}+\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot \frac{Q^{2}}{4h^{2}}=\frac{Q^{2}}{16\pi\varepsilon_{0}h^{2}}\cdot \left( \frac{1}{2\sqrt{2}}+1 \right)$$ | |||
| #### Ответ | |||
| $F=\frac{3Q^{2}}{32\pi\varepsilon_{0}h^{2}}$ | |||