Edits to “Условие”, “Решение”, “Ответ”

emixter edited
View solution History
revision #14179 parent #14178 ← older newer →
ru/6.3.30.md +41 −3
@@ -1,11 +1,49 @@
### Условие
−$6.3.30.$ [Вставьте условие задачи]
+$6.3.30.$ Две бесконечные проводящие плоскости, пересекаясь под прямым углом, делят пространство на четыре области. В области $I$ находится заряд $q$ на одинаковом расстоянии $l$ от обеих плоскостей. Есть ли электрическое поле в областях $II–IV$? Какая сила действует на заряд $q$?
+![К задаче $6.3.30$|244x137, 50%](../../img/6.3.30/Figure.png)
+
### Решение
−dsf
+![|1442x942, 50%](../../img/6.3.30/6.3.30.jpg)
+Плоскости — проводящие и незаряженные. Чтобы учесть их влияние, используем метод зеркальных зарядов. Заменим влияние плоскостей на систему эквивалентной системой из трёх мнимых зарядов: для настоящего заряда $q$, на противоположной стороне плоскостей симметрично ставятся мнимые заряди $−q$ ($II$ и $IV$ четверти). Зеркальным отображением этих мнимых зарядов будет мнимый заряд $q$ в $III$ четверти. Таким образом, мы получаем четыре заряда в вершинах квадрата со стороной $2l$.
+
+Рассчитаем силу, действующую на заряд $q$ от всех других зарядов (смотри рисунок). Сила Кулона $\vec F_{1}$ между зарядом в 1 и 2 четверти в проекции на ось $Y$:
+
+$$F_{1}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot \frac{q^{2}}{4l^{2}}$$
+
+Сила Кулона $\vec F_{2}$ между зарядом в 1 и 4 четверти в проекции на ось $X$:
+
+$$F_{2}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot \frac{q^{2}}{4l^{2}}$$
+
+Сила Кулона $\vec F_{3}$ между зарядом в 1 и 3 четверти будет действовать вдоль диагонали квадрата под углом $\frac{\pi}{4}$ к осям $X$ и $Y$. Расстояние между этими зарядами равно длине диагонали квадрата: $2l\sqrt{2}$. Модуль силы $\vec F_{3}$:
+
+$$F_{3}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot\frac{q^{2}}{8l^{2}}$$
+
+Распишем эту силу в проекциях на оси координат:
+
+$$F_{3X}=-F_{3}\cos\frac{\pi}{4}=-\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot \frac{q^{2}}{8\sqrt{2}h^{2}}$$
+$$F_{3Y}=-F_{3}\cos\frac{\pi}{4}=-\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot \frac{q^{2}}{8\sqrt{2}h^{2}}$$
+
+Проекция результирующей силы, действующей на заряд $q$, вдоль оси $X$ будет:
+
+$$F_{X}=F_{2}+F_{3X}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot\frac{q^{2}}{4l^{2}}-\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot\frac{q^{2}}{8\sqrt{2}l^{2}}=\frac{q^{2}}{16\pi\varepsilon_{0}l^{2}}\left( 1-\frac{1}{2\sqrt{2}} \right)$$
+
+Проекция результирующей силы, действующей на заряд $q$, вдоль оси $Y$ будет:
+
+$$F_{Y}=F_{1}+F_{3Y}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot\frac{q^{2}}{4l^{2}}-\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot\frac{q^{2}}{8\sqrt{2}l^{2}}=\frac{q^{2}}{16\pi\varepsilon_{0}l^{2}}\left( 1-\frac{1}{2\sqrt{2}} \right)$$
+
+Модуль результирующей силы будет:
+
+$$F=\sqrt{F_{X}^{2}+F_{Y}^{2}}=\frac{q^{2}}{16\pi\varepsilon_{0}l^{2}}\left( 1-\frac{1}{2\sqrt{2}} \right)\sqrt{2}=\frac{q^{2}(2\sqrt{2}-1)}{32\pi\varepsilon_{0}l^{2}}$$
+
+Индуцированные заряды на плоскостях компенсируют поле заряда $q$, поэтому электрического поля в областях $II–IV$ нет.
+
+
#### Ответ
−[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]
+Нет.
+
+$F=\frac{q^{2}(2\sqrt{2}-1)}{32\pi\varepsilon_{0}l^{2}}$