Решение

Будем решать задачу методом зеркальных зарядов. Найдём сперва изображение заряда $q$ на шаре. Из сферической симметрии шара ясно, что мнимый заряд $q_{1}$ должен быть размещен на линии соединяющей центр шара с зарядом $q$. Выбирем на поверхности шара произвольную точку $B$, а точку размещения заряда $q_{1}$ (точка $C$) такую, чтобы треугольник $OBC$ был подобен треугольнику $OAB$ (по двум равным углам). Из подобия треугольников получим:

$$\frac{BC}{AB}=\frac{OB}{OA}=\frac{R}{L} \tag{1}$$

Потенциал в точке $B$ будет суммой потенциалов, создающих зарядов $q$ и $q_{1}$:

$$\varphi_{B}=\varphi_{q}+\varphi_{q_{1}}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot \frac{q}{AB}+\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot \frac{q_{1}}{BC}$$

Поскольку шар металлический, то считаем его идеальным проводником. Согласно теореме Фарадея электрическое поле внутри шара равно 0. Подберём такую величину заряда $q_{1}$, чтобы суммарный потенциал от заряда $q$ и $q_{1}$ на поверхности шара был равен 0:

$$\varphi_{B}=0$$
$$\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot \frac{q}{AB}+\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot \frac{q_{1}}{BC}=0$$
$$q_{1}=-q\frac{BC}{AB}$$

Используя (1), получим:

$$q_{1}=-q\frac{R}{L} \tag{2}$$

Из вы