Решение

Сначала рассмотрим движение частиц до момента увеличения скорости одной из частиц. Частицы вращаются вокруг общего центра масс под действием силы кулоновского притяжения. Пусть расстояние между частицами - $r$, скорость частицы с массой $m$ обозначим $\upsilon$, скорость частицы с массой $M$ обозначим $V$. Кулоновская сила сообщает частицам центростремительное ускорение, запишем второй закон Ньютона для обоих частиц:

$$\frac{m\upsilon^{2}}{r_{m}}=\frac{kq^{2}}{r^{2}} \tag{1}$$
$$\frac{MV^{2}}{r_{M}}=\frac{kq^{2}}{r^{2}} \tag{2}$$

где $\left| q \right|$ - заряд частиц; $r_{m}$ - радиус орбиты частицы массы $m$; $r_{M}$ - радиус орбиты частицы массы $M$:

$$r=r_{m}+r_{M} \tag{3}$$

Согласно закону сохранения импульса (изначально система замкнута, центр масс покоится):

$$m\upsilon=MV \Longrightarrow \frac{\upsilon}{V}=\frac{M}{m} \tag{4}$$

Используя уравнения (1)-(4) найдём:

$$r_{m}=\frac{M}{m+M}r$$
$$r_{M}=\frac{m}{m+M}r$$

Можно выразить $\upsilon^{2}$:

$$\upsilon^{2}=\frac{kq^{2}}{m}\cdot \frac{r_{m}}{r^{2}}=\frac{kq^{2}}{m}\cdot \frac{\frac{M}{m+M}r}{r^{2}}=\frac{kq^{2}M}{m(m+M)r} \tag{5}$$

Теперь рассмотрим, что происходит с нашей системой, когда частице с массой $m$ мгновенно увеличивают скорость в $n$ раз: $\upsilon^{'}=n\upsilon$. Это внешнее воздействие приводит к тому, что импульс системы больше не равен нулю, и теперь центр масс движется. Перейдём в систему отсчёта, связаную с центром масс системы. Полную энергию системы, с использованием теоремы Кёнига для кинетических энергий центра масс и относительного движения, можно записать:

$$E=K_{ЦМ}+K_{отн}+U$$