Edit to “Решение”
ru/7.4.14.md
+36 −2
| ### Условие | |||
| $7.4.14.$ Две частицы массы $m$ и $M$ с противоположными зарядами под влиянием электрического притяжения движутся по окружности. Скорость частицы массы $m$ мгновенно увеличивают в $n$ раз, не изменяя ее направления. При каком минимальном $n$ частицы после этого разлетятся? | |||
| @@ -5,7 +5,7 @@Условие | |||
| ### Решение | |||
| − | Сначала рассмотрим движение частиц до момента увеличения скорости одной из частиц. Частицы вращаются вокруг общего центра масс под действием силы кулоновского притяжения. Пусть расстояние между частицами - $r$, скорость частицы с массой $m$ обозначим $\upsilon$, скорость частицы с массой $M$ обозначим $V$. Кулоновская сила сообщает частицам центростремительное ускорение, запишем второй закон Ньютона для об | ||
| + | Сначала рассмотрим движение частиц до момента увеличения скорости одной из частиц. Частицы вращаются вокруг общего центра масс под действием силы кулоновского притяжения. Пусть расстояние между частицами - $r$, скорость частицы с массой $m$ обозначим $\upsilon$, скорость частицы с массой $M$ обозначим $V$. Кулоновская сила сообщает частицам центростремительное ускорение, запишем второй закон Ньютона для обеих частиц: | ||
| $$\frac{m\upsilon^{2}}{r_{m}}=\frac{kq^{2}}{r^{2}} \tag{1}$$ | |||
| $$\frac{MV^{2}}{r_{M}}=\frac{kq^{2}}{r^{2}} \tag{2}$$ | |||
| где $\left| q \right|$ - заряд частиц; $r_{m}$ - радиус орбиты частицы массы $m$; $r_{M}$ - радиус орбиты частицы массы $M$: | |||
| $$r=r_{m}+r_{M} \tag{3}$$ | |||
| Согласно закону сохранения импульса (изначально система замкнута, центр масс покоится): | |||
| $$m\upsilon=MV \Longrightarrow \frac{\upsilon}{V}=\frac{M}{m} \tag{4}$$ | |||
| Используя уравнения (1)-(4) найдём: | |||
| $$r_{m}=\frac{M}{m+M}r$$ | |||
| $$r_{M}=\frac{m}{m+M}r$$ | |||
| Можно выразить $\upsilon^{2}$: | |||
| @@ -27,11 +27,45 @@Решение | |||
| $$\upsilon^{2}=\frac{kq^{2}}{m}\cdot \frac{r_{m}}{r^{2}}=\frac{kq^{2}}{m}\cdot \frac{\frac{M}{m+M}r}{r^{2}}=\frac{kq^{2}M}{m(m+M)r} \tag{5}$$ | |||
| − | Теперь рассмотрим, что происходит с нашей системой, когда частице с массой $m$ мгновенно увеличивают скорость в $n$ раз: $\upsilon^{'}=n\upsilon$. Это внешнее воздействие приводит к тому, что импульс системы больше не равен нулю, и теперь центр масс движется. Перейдём в систему отсчёта, связаную с центром масс системы. Полную энергию системы, с использованием теоремы Кёнига для кинетических энергий центра масс и относительного движения, можно записать: | ||
| + | Теперь рассмотрим, что происходит с нашей системой, когда частице с массой $m$ мгновенно увеличивают скорость в $n$ раз: $\vec \upsilon^{'}=n\vec \upsilon$. Это внешнее воздействие приводит к тому, что импульс системы больше не равен нулю, и теперь центр масс движется. Перейдём в систему отсчёта, связанную с центром масс системы. Полную энергию системы, с использованием теоремы Кёнига для кинетических энергий центра масс и относительного движения, можно записать: | ||
| $$E=K_{ЦМ}+K_{отн}+U$$ | |||
| + | Поскольку в процессе разлёта частиц нас интересует только их относительное движение, то критерием минимальности скорости $\upsilon^{'}$ будет: | ||
| + | |||
| + | $$K_{отн}+U=0$$ | ||
| + | |||
| + | В этом случае траектории частиц перестают быть замкнутыми. | ||
| + | |||
| + | Кинетическая энергия относительного движения в системе центра масс: | ||
| + | |||
| + | $$K_{отн}=\frac{1}{2}\mu \upsilon_{отн}^{2}$$ | ||
| + | |||
| + | где $\mu=\frac{mM}{m+M}$ приведённая масса системы, $\upsilon_{отн}$ - относительная скорость частиц в системе центра масс: | ||
| + | |||
| + | $$\vec \upsilon_{отн}=\vec \upsilon_{m}^{ЦМ}-\vec \upsilon_{M}^{ЦМ}$$ | ||
| + | |||
| + | здесь $\vec \upsilon_{m}^{ЦМ}$ - скорость частицы с массой $m$ в системе центра масс, $\upsilon_{M}^{ЦМ}$ - скорость частицы с массой $M$ в системе центра масс. | ||
| + | |||
| + | Связь скоростей частиц при переходе из системы отсчёта, связанной с Землей, в систему отсчёта центра масс: | ||
| + | |||
| + | $$\vec \upsilon_{m}^{ЦМ}=\vec \upsilon^{'}-\vec V_{ЦМ}$$ | ||
| + | $$\vec \upsilon_{M}^{ЦМ}=\vec V^{'}-\vec V_{ЦМ}$$ | ||
| + | |||
| + | При мгновенном изменении скорости частицы с массой $m$ другая частица не успевает мгновенно среагировать на это воздействие, поэтому в первый момент её скорость такая, какой была и до воздействия: $\vec V^{'}=\vec V$. | ||
| + | |||
| + | Новый импульс системы: | ||
| + | |||
| + | $$\vec P=m\vec \upsilon^{'}+M\vec V^{'}=mn\vec \upsilon+M\vec V$$ | ||
| + | |||
| + | Согласно (4) в векторной форме: $\vec V=-\frac{m}{M}\vec \upsilon$, тогда для импульса: | ||
| + | |||
| + | $$\vec P=mn\vec \upsilon-M\frac{m}{M}\vec \upsilon=(n-1)m\vec \upsilon$$ | ||
| + | |||
| + | Можем выразить скорость центра масс: | ||
| + | |||
| + | $$\vec V_{ЦМ}=\frac{\vec P}{m+M}$$ | ||
| #### Ответ | |||
| $$n_{min}=(\sqrt{2}-1)\frac{m}{M}+\sqrt{2}$$ | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $7.4.14.$ Две частицы массы $m$ и $M$ с противоположными зарядами под влиянием электрического притяжения движутся по окружности. Скорость частицы массы $m$ мгновенно увеличивают в $n$ раз, не изменяя ее направления. При каком минимальном $n$ частицы после этого разлетятся? | $7.4.14.$ Две частицы массы $m$ и $M$ с противоположными зарядами под влиянием электрического притяжения движутся по окружности. Скорость частицы массы $m$ мгновенно увеличивают в $n$ раз, не изменяя ее направления. При каком минимальном $n$ частицы после этого разлетятся? | ||
| @@ -5,7 +5,7 @@Условие | |||
| ### Решение | ### Решение | ||
| Сначала рассмотрим движение частиц до момента увеличения скорости одной из частиц. Частицы вращаются вокруг общего центра масс под действием силы кулоновского притяжения. Пусть расстояние между частицами - $r$, скорость частицы с массой $m$ обозначим $\upsilon$, скорость частицы с массой $M$ обозначим $V$. Кулоновская сила сообщает частицам центростремительное ускорение, запишем второй закон Ньютона для об |
Сначала рассмотрим движение частиц до момента увеличения скорости одной из частиц. Частицы вращаются вокруг общего центра масс под действием силы кулоновского притяжения. Пусть расстояние между частицами - $r$, скорость частицы с массой $m$ обозначим $\upsilon$, скорость частицы с массой $M$ обозначим $V$. Кулоновская сила сообщает частицам центростремительное ускорение, запишем второй закон Ньютона для обеих частиц: | ||
| $$\frac{m\upsilon^{2}}{r_{m}}=\frac{kq^{2}}{r^{2}} \tag{1}$$ | $$\frac{m\upsilon^{2}}{r_{m}}=\frac{kq^{2}}{r^{2}} \tag{1}$$ | ||
| $$\frac{MV^{2}}{r_{M}}=\frac{kq^{2}}{r^{2}} \tag{2}$$ | $$\frac{MV^{2}}{r_{M}}=\frac{kq^{2}}{r^{2}} \tag{2}$$ | ||
| где $\left| q \right|$ - заряд частиц; $r_{m}$ - радиус орбиты частицы массы $m$; $r_{M}$ - радиус орбиты частицы массы $M$: | где $\left| q \right|$ - заряд частиц; $r_{m}$ - радиус орбиты частицы массы $m$; $r_{M}$ - радиус орбиты частицы массы $M$: | ||
| $$r=r_{m}+r_{M} \tag{3}$$ | $$r=r_{m}+r_{M} \tag{3}$$ | ||
| Согласно закону сохранения импульса (изначально система замкнута, центр масс покоится): | Согласно закону сохранения импульса (изначально система замкнута, центр масс покоится): | ||
| $$m\upsilon=MV \Longrightarrow \frac{\upsilon}{V}=\frac{M}{m} \tag{4}$$ | $$m\upsilon=MV \Longrightarrow \frac{\upsilon}{V}=\frac{M}{m} \tag{4}$$ | ||
| Используя уравнения (1)-(4) найдём: | Используя уравнения (1)-(4) найдём: | ||
| $$r_{m}=\frac{M}{m+M}r$$ | $$r_{m}=\frac{M}{m+M}r$$ | ||
| $$r_{M}=\frac{m}{m+M}r$$ | $$r_{M}=\frac{m}{m+M}r$$ | ||
| Можно выразить $\upsilon^{2}$: | Можно выразить $\upsilon^{2}$: | ||
| @@ -27,11 +27,45 @@Решение | |||
| $$\upsilon^{2}=\frac{kq^{2}}{m}\cdot \frac{r_{m}}{r^{2}}=\frac{kq^{2}}{m}\cdot \frac{\frac{M}{m+M}r}{r^{2}}=\frac{kq^{2}M}{m(m+M)r} \tag{5}$$ | $$\upsilon^{2}=\frac{kq^{2}}{m}\cdot \frac{r_{m}}{r^{2}}=\frac{kq^{2}}{m}\cdot \frac{\frac{M}{m+M}r}{r^{2}}=\frac{kq^{2}M}{m(m+M)r} \tag{5}$$ | ||
| Теперь рассмотрим, что происходит с нашей системой, когда частице с массой $m$ мгновенно увеличивают скорость в $n$ раз: $\upsilon^{'}=n\upsilon$. Это внешнее воздействие приводит к тому, что импульс системы больше не равен нулю, и теперь центр масс движется. Перейдём в систему отсчёта, связаную с центром масс системы. Полную энергию системы, с использованием теоремы Кёнига для кинетических энергий центра масс и относительного движения, можно записать: | Теперь рассмотрим, что происходит с нашей системой, когда частице с массой $m$ мгновенно увеличивают скорость в $n$ раз: $\vec \upsilon^{'}=n\vec \upsilon$. Это внешнее воздействие приводит к тому, что импульс системы больше не равен нулю, и теперь центр масс движется. Перейдём в систему отсчёта, связанную с центром масс системы. Полную энергию системы, с использованием теоремы Кёнига для кинетических энергий центра масс и относительного движения, можно записать: | ||
| $$E=K_{ЦМ}+K_{отн}+U$$ | $$E=K_{ЦМ}+K_{отн}+U$$ | ||
| Поскольку в процессе разлёта частиц нас интересует только их относительное движение, то критерием минимальности скорости $\upsilon^{'}$ будет: | |||
| $$K_{отн}+U=0$$ | |||
| В этом случае траектории частиц перестают быть замкнутыми. | |||
| Кинетическая энергия относительного движения в системе центра масс: | |||
| $$K_{отн}=\frac{1}{2}\mu \upsilon_{отн}^{2}$$ | |||
| где $\mu=\frac{mM}{m+M}$ приведённая масса системы, $\upsilon_{отн}$ - относительная скорость частиц в системе центра масс: | |||
| $$\vec \upsilon_{отн}=\vec \upsilon_{m}^{ЦМ}-\vec \upsilon_{M}^{ЦМ}$$ | |||
| здесь $\vec \upsilon_{m}^{ЦМ}$ - скорость частицы с массой $m$ в системе центра масс, $\upsilon_{M}^{ЦМ}$ - скорость частицы с массой $M$ в системе центра масс. | |||
| Связь скоростей частиц при переходе из системы отсчёта, связанной с Землей, в систему отсчёта центра масс: | |||
| $$\vec \upsilon_{m}^{ЦМ}=\vec \upsilon^{'}-\vec V_{ЦМ}$$ | |||
| $$\vec \upsilon_{M}^{ЦМ}=\vec V^{'}-\vec V_{ЦМ}$$ | |||
| При мгновенном изменении скорости частицы с массой $m$ другая частица не успевает мгновенно среагировать на это воздействие, поэтому в первый момент её скорость такая, какой была и до воздействия: $\vec V^{'}=\vec V$. | |||
| Новый импульс системы: | |||
| $$\vec P=m\vec \upsilon^{'}+M\vec V^{'}=mn\vec \upsilon+M\vec V$$ | |||
| Согласно (4) в векторной форме: $\vec V=-\frac{m}{M}\vec \upsilon$, тогда для импульса: | |||
| $$\vec P=mn\vec \upsilon-M\frac{m}{M}\vec \upsilon=(n-1)m\vec \upsilon$$ | |||
| Можем выразить скорость центра масс: | |||
| $$\vec V_{ЦМ}=\frac{\vec P}{m+M}$$ | |||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| $$n_{min}=(\sqrt{2}-1)\frac{m}{M}+\sqrt{2}$$ | $$n_{min}=(\sqrt{2}-1)\frac{m}{M}+\sqrt{2}$$ | ||