Edits to “Условие”, “Решение”, “Ответ”
ru/7.4.20.md
+30 −3
| @@ -1,11 +1,38 @@ | |||
| ### Условие | |||
| − | $7.4.20.$ [Вставьте условие задачи] | ||
| + | $7.4.20.$ Частица массы $m$, имеющая заряд $q$, движется с большого расстояния по направлению к центру равномерно заряженной незакрепленной сферы. Радиус сферы $R$, ее заряд $Q$, масса $M$. Какой скоростью должна обладать частица на большом расстоянии от сферы, чтобы через небольшие отверстия пролететь сквозь нее? $qQ\gt 0$. | ||
| ### Решение | |||
| − | dfdfdd | ||
| + | Наша система замкнута и изолирована, поэтому в ней применимы законы сохранения импульса и энергии. На бесконечности взаимодействия между сферой и частицей отсутствует. Полная энергия будет состоять только из кинетической энергии частицы: | ||
| + | $$E=\frac{1}{2}m\upsilon^{2}$$ | ||
| + | |||
| + | где $\upsilon$ - скорость частицы на бесконечности (очень большом расстоянии). При сближении частица и сфера взаимодействуют посредством кулоновских сил отталкивания, так как заряди одноимённые. Сфера начнёт "убегать" от частицы. Частица сможет пролететь сквозь сферу, если при достижении поверхности сферы частица будет иметь как минимум скорость равную скорости сферы ($V$). Когда частица влетит внутрь сферы, там электрического поля нет, она будет двигаться по инерции. Запишем закон сохранения энергии: | ||
| + | |||
| + | $$\frac{1}{2}m\upsilon^{2}=\frac{1}{2}(m+M)V^{2}+\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{qQ}{R}$$ | ||
| + | |||
| + | Закон сохранения импульса: | ||
| + | |||
| + | $$m\upsilon=(m+M)V$$ | ||
| + | |||
| + | Отсюда выразим $V$: | ||
| + | |||
| + | $$V=\frac{m\upsilon}{(m+M)}$$ | ||
| + | |||
| + | Подставим в закон сохранения энергии: | ||
| + | |||
| + | $$\frac{1}{2}m\upsilon^{2}=\frac{1}{2}(m+M)\left( \frac{m\upsilon}{(m+M)} \right)^{2}+\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{qQ}{R}$$ | ||
| + | $$m\upsilon^{2}=\frac{m^{2}\upsilon^{2}}{(m+M)}+\frac{1}{2\pi\varepsilon_{0}}\frac{qQ}{R}$$ | ||
| + | $$m\upsilon^{2}\left(1 -\frac{m}{m+M} \right)=\frac{1}{2\pi\varepsilon_{0}}\frac{qQ}{R}$$ | ||
| + | $$\upsilon^{2}\frac{mM}{m+M}=\frac{1}{2\pi\varepsilon_{0}}\frac{qQ}{R}$$ | ||
| + | |||
| + | Окончательно: | ||
| + | |||
| + | $$\upsilon=\sqrt{\frac{qQ(m+M)}{2\pi\varepsilon_{0}RmM}}$$ | ||
| + | |||
| + | Отмечу, что когда заряды будут разноимённые у сферы и частицы, то они будут притягиваться, и при любой скорости частицы она сможет пролететь сквозь сферу. | ||
| + | |||
| #### Ответ | |||
| − | [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | ||
| + | $$\upsilon\ge \sqrt{\frac{qQ(m+M)}{2\pi\varepsilon_{0}RmM}}$$ | ||
| @@ -1,11 +1,38 @@ | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $7.4.20.$ [Вставьте условие задачи] | $7.4.20.$ Частица массы $m$, имеющая заряд $q$, движется с большого расстояния по направлению к центру равномерно заряженной незакрепленной сферы. Радиус сферы $R$, ее заряд $Q$, масса $M$. Какой скоростью должна обладать частица на большом расстоянии от сферы, чтобы через небольшие отверстия пролететь сквозь нее? $qQ\gt 0$. | ||
| ### Решение | ### Решение | ||
| dfdfdd | Наша система замкнута и изолирована, поэтому в ней применимы законы сохранения импульса и энергии. На бесконечности взаимодействия между сферой и частицей отсутствует. Полная энергия будет состоять только из кинетической энергии частицы: | ||
| $$E=\frac{1}{2}m\upsilon^{2}$$ | |||
| где $\upsilon$ - скорость частицы на бесконечности (очень большом расстоянии). При сближении частица и сфера взаимодействуют посредством кулоновских сил отталкивания, так как заряди одноимённые. Сфера начнёт "убегать" от частицы. Частица сможет пролететь сквозь сферу, если при достижении поверхности сферы частица будет иметь как минимум скорость равную скорости сферы ($V$). Когда частица влетит внутрь сферы, там электрического поля нет, она будет двигаться по инерции. Запишем закон сохранения энергии: | |||
| $$\frac{1}{2}m\upsilon^{2}=\frac{1}{2}(m+M)V^{2}+\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{qQ}{R}$$ | |||
| Закон сохранения импульса: | |||
| $$m\upsilon=(m+M)V$$ | |||
| Отсюда выразим $V$: | |||
| $$V=\frac{m\upsilon}{(m+M)}$$ | |||
| Подставим в закон сохранения энергии: | |||
| $$\frac{1}{2}m\upsilon^{2}=\frac{1}{2}(m+M)\left( \frac{m\upsilon}{(m+M)} \right)^{2}+\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{qQ}{R}$$ | |||
| $$m\upsilon^{2}=\frac{m^{2}\upsilon^{2}}{(m+M)}+\frac{1}{2\pi\varepsilon_{0}}\frac{qQ}{R}$$ | |||
| $$m\upsilon^{2}\left(1 -\frac{m}{m+M} \right)=\frac{1}{2\pi\varepsilon_{0}}\frac{qQ}{R}$$ | |||
| $$\upsilon^{2}\frac{mM}{m+M}=\frac{1}{2\pi\varepsilon_{0}}\frac{qQ}{R}$$ | |||
| Окончательно: | |||
| $$\upsilon=\sqrt{\frac{qQ(m+M)}{2\pi\varepsilon_{0}RmM}}$$ | |||
| Отмечу, что когда заряды будут разноимённые у сферы и частицы, то они будут притягиваться, и при любой скорости частицы она сможет пролететь сквозь сферу. | |||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| [Вставьте краткий ответ или результат в рамке] | $$\upsilon\ge \sqrt{\frac{qQ(m+M)}{2\pi\varepsilon_{0}RmM}}$$ | ||