| Допустим, что мы уже произвели $(n-1)$ раз такую процедуру передачи заряда между шариками. Тогда перед $n$ разом, у нас шарик 2 уже имеет заряд $q_{n-1}$, а шарик 1 вновь восстановил свой заряд до значения $Q$ с помощью электрофорной машины. Суммарный заряд в нашей системе двух заряженных шариков: $(q_{n-1}+Q)$. | | Допустим, что мы уже произвели $(n-1)$ раз такую процедуру передачи заряда между шариками. Тогда перед $n$ разом, у нас шарик 2 уже имеет заряд $q_{n-1}$, а шарик 1 вновь восстановил свой заряд до значения $Q$ с помощью электрофорной машины. Суммарный заряд в нашей системе двух заряженных шариков: $(q_{n-1}+Q)$. |
| | | |
| Когда шарики соприкасаются, их потенциалы становятся равными. Тогда после соприкосновения заряды распределяются так, чтобы: | | Когда шарики соприкасаются, их потенциалы становятся равными. Тогда после соприкосновения заряды распределяются так, чтобы: |
| | | |
| $$\varphi_{1}=\varphi_{2}$$ | | $$\varphi_{1}=\varphi_{2}$$ |
| $$\frac{q^{'}}{4\pi\varepsilon_{0}R_{1}}=\frac{q_{n}}{4\pi\varepsilon_{0}R_{2}} \tag{1}$$ | | $$\frac{q^{'}}{4\pi\varepsilon_{0}R_{1}}=\frac{q_{n}}{4\pi\varepsilon_{0}R_{2}} \tag{1}$$ |
| | | |
| где $R_{1}$ и $R_{2}$ соответствующие радиусы шариков 1 и 2. | | где $R_{1}$ и $R_{2}$ соответствующие радиусы шариков 1 и 2. |
| | | |
| По закону сохранения заряда: | | По закону сохранения заряда: |
| | | |
| $$q^{'}+q_{n}=q_{n-1}+Q \tag{2}$$ | | $$q^{'}+q_{n}=q_{n-1}+Q \tag{2}$$ |
| | | |
| Выразим из (1) $q^{'}$: | | Выразим из (1) $q^{'}$: |
| | | |
| $$q^{'}=\frac{R_{1}}{R_{2}}q_{n}$$ | | $$q^{'}=\frac{R_{1}}{R_{2}}q_{n}$$ |
| | | |
| Подставим это выражение в (2): | | Подставим это выражение в (2): |
| | | |
| $$\frac{R_{1}}{R_{2}}q_{n}+q_{n}=q_{n-1}+Q$$ | | $$\frac{R_{1}}{R_{2}}q_{n}+q_{n}=q_{n-1}+Q$$ |
| | | |
| Выразим отсюда $q_{n}$: | | Выразим отсюда $q_{n}$: |
| | | |
| $$q_{n}=\frac{R_{2}}{R_{1}+R_{2}}(q_{n-1}+Q)$$ | | $$q_{n}=\frac{R_{2}}{R_{1}+R_{2}}(q_{n-1}+Q)$$ |
| | | |
| Введём обозначение: | | Введём обозначение: |
| | | |
| $$k=\frac{R_{2}}{R_{1}+R_{2}}$$ | | $$k=\frac{R_{2}}{R_{1}+R_{2}}$$ |
| | | |
| Тогда получим такую рекурсию: | | Тогда получим такую рекурсию: |
| | | |
| $$q_{n}=k\cdot (q_{n-1}+Q) \tag{3}$$ | | $$q_{n}=k\cdot (q_{n-1}+Q) \tag{3}$$ |
| | | |
| В случае многократного обмена, когда $n\to \infty$ и конечности величины $Q$, можно считать, что $q_{n}\approx q_{n-1}=q_{\infty }$. Наша рекурсия получит вид: | | В случае многократного обмена, когда $n\to \infty$ и конечности величины $Q$, можно считать, что $q_{n}\approx q_{n-1}=q_{\infty }$. Наша рекурсия получит вид: |
| | | |
| $$q_{\infty }=k\cdot (q_{\infty }+Q)$$ | | $$q_{\infty }=k\cdot (q_{\infty }+Q)$$ |
| | | |
| Выразим отсюда $q_{\infty }$: | | Выразим отсюда $q_{\infty }$: |
| | | |
| $$q_{\infty }=\frac{kQ}{1-k} \tag{4}$$ | | $$q_{\infty }=\frac{kQ}{1-k} \tag{4}$$ |
| | | |
| Нам необходимо найти $k$. По условию задачи при первом соприкосновении на шарик 2 перешел заряд $q$, то есть $q_{1}=q$, а до этого шарик 2 не имел заряда, это значит $q_{0}=0$. Подставим эти значения в рекурентную формулу (3): | | Нам необходимо найти $k$. По условию задачи при первом соприкосновении на шарик 2 перешел заряд $q$, то есть $q_{1}=q$, а до этого шарик 2 не имел заряда, это значит $q_{0}=0$. Подставим эти значения в рекурентную формулу (3): |
| | | |
| $$q=k\cdot (0+Q)$$ | | $$q=k\cdot (0+Q)$$ |
| $$k=\frac{q}{Q}$$ | | $$k=\frac{q}{Q}$$ |
| | | |
| Теперь подставим $k$ в (4): | | Теперь подставим $k$ в (4): |
| | | |
| $$q_{\infty }=\frac{\frac{q}{Q}Q}{1-\frac{q}{Q}}$$ | | $$q_{\infty }=\frac{\frac{q}{Q}Q}{1-\frac{q}{Q}}$$ |
| $$q_{\infty }=\frac{qQ}{Q-q}$$ | | $$q_{\infty }=\frac{qQ}{Q-q}$$ |
| | | |
| #### Ответ | | #### Ответ |
| | | |
| $Q^{'}=\frac{qQ}{Q-q}$ | | $Q^{'}=\frac{qQ}{Q-q}$ |
