Решение

Рассмотрим два тела массами $m_{1}$ и $m_{2}$, движущиеся с начальными скоростями $\vec\upsilon_{1}$ и $\vec\upsilon_{2}$ соответственно. Пусть тела сталкиваются, и в результате удара происходит перераспределение энергии. Потенциальной энергией взаимодействия пренебрегаем как в начале, так и в конце, поэтому разность между кинетической энергией до и после удара перейдёт во внутреннюю энергию (например, в тепло или деформацию). Удар считаем центральным. Пусть после удара скорости тел равны $\vec\upsilon_{1}^{'}$ и $\vec\upsilon_{2}^{'}$ соответственно.

Наша система замкнута, поэтому в ней применим закон сохранения импульса:

$$m_{1}\vec\upsilon_{1}+m_{2}\vec\upsilon_{2}=m_{1}\vec\upsilon_{1}^{'}+m_{2}\vec\upsilon_{2}^{'} \tag{1}$$

$$m_{1}\vec\upsilon_{1}+m_{2}\vec\upsilon_{2}=\vec\upsilon_{1}^{'} \left( m_{1}+m_{2}\frac{\vec\upsilon_{2}^{'}}{\vec\upsilon_{1}^{'}} \right)$$

Введём переменную $x$:

$$x=\frac{\vec\upsilon_{2}^{'}}{\vec\upsilon_{1}^{'}} \tag{2}$$

Тогда выражение для $\vec\upsilon_{1}^{'}$ будет:

$$\vec\upsilon_{1}^{'}=\frac{m_{1}\vec\upsilon_{1}+m_{2}\vec\upsilon_{2}}{m_{1}+m_{2}x} \tag{3}$$

При ударе часть кинетической энергии переходит во внутреннюю. Искомая величина:

$$\Delta E_{вн}=\frac{1}{2}m_{1}\upsilon_{1}^{2}+\frac{1}{2}m_{2}\upsilon_{2}^{2}-\left( \frac{1}{2}m_{1}\upsilon_{1}^{'2}+\frac{1}{2}m_{2}\upsilon_{2}^{'2} \right)$$

Вынесем множитель $\frac{1}{2}\upsilon_{1}^{'2}$ за скобки:

$$\Delta E_{вн}=\frac{1}{2}m_{1}\upsilon_{1}^{2}+\frac{1}{2}m_{2}\upsilon_{2}^{2}-\frac{1}{2}\upsilon_{1}^{'2}\left( m_{1}+m_{2}\frac{\upsilon_{2}^{'2}}{\upsilon_{1}^{'2}} \right)$$

Подставим выражения (2) и (3):

$$\Delta E_{вн}=\frac{1}{2}m_{1}\upsilon_{1}^{2}+\frac{1}{2}m_{2}\upsilon_{2}^{2}-\frac{1}{2}\left( \frac{m_{1}\vec\upsilon_{1}+m_{2}\vec\upsilon_{2}}{m_{1}+m_{2}x} \right)^{2}\left( m_{1}+m_{2}x^{2} \right) \tag{4}$$

Мы получили функциональную зависимость $\Delta E_{вн}(x)$. Найдём при каком $x$ данная функция имеет максимум. Для этого сначала найдём первую производную и приравняем её к 0, найдём точку экстремума. Потом возьмём вторую производную и в точке экстремума покажем, что она менше 0 - это будет максимум. Дальнейшие выкладки будут чисто математическими, без комментариев.

$$\frac{d \Delta E_{вн}(x)}{dx}=0$$
$$-\frac{1}{2}\left( m_{1}\vec\upsilon_{1}+m_{2}\vec\upsilon_{2} \right)^{2}\cdot \frac{2m_{2}x(m_{1}+m_{2}x)^{2}-2(m_{1}+m_{2}x)m_{2}(m_{1}+m_{2}x^{2})}{(m_{1}+m_{2}x)^{4}}=0$$
$$x(m_{1}+m_{2}x)^{2}-(m_{1}+m_{2}x)(m_{1}+m_{2}x^{2})=0$$
$$x(m_{1}+m_{2}x)-(m_{1}+m_{2}x^{2})=0$$
$$xm_{1}=m_{1}$$
$$x=1 \tag{5}$$

Мы нашли экстремум $x_{экс}=1$. Данная точка будет максимумом, если:

$$\frac{d^{2} \Delta E_{вн}(x_{экс})}{dx^{2}}\lt 0$$