Edit to “Решение”

emixter edited Apr 15, 2025, 11:06 AM

View solution History

revision #14289 parent #14288 ← older

ru/2.4.32.md +23 −0

			### Условие

			$2.4.32.$ Докажите, что при абсолютно неупругом ударе происходит наибольшее увеличение суммарной внутренней энергии сталкивающихся тел. Предполагается, что в начальном и конечном состояниях потенциальной энергией взаимодействия тел между собой можно пренебречь.

			### Решение

			Рассмотрим два тела массами $m_{1}$ и $m_{2}$, движущиеся с начальными скоростями $\vec\upsilon_{1}$ и $\vec\upsilon_{2}$ соответственно. Пусть тела сталкиваются, и в результате удара происходит перераспределение энергии. Потенциальной энергией взаимодействия пренебрегаем как в начале, так и в конце, поэтому разность между кинетической энергией до и после удара перейдёт во внутреннюю энергию (например, в тепло или деформацию). Удар считаем центральным. Пусть после удара скорости тел равны $\vec\upsilon_{1}^{'}$ и $\vec\upsilon_{2}^{'}$ соответственно.

			Наша система замкнута, поэтому в ней применим закон сохранения импульса:

			$$m_{1}\vec\upsilon_{1}+m_{2}\vec\upsilon_{2}=m_{1}\vec\upsilon_{1}^{'}+m_{2}\vec\upsilon_{2}^{'} \tag{1}$$

			$$m_{1}\vec\upsilon_{1}+m_{2}\vec\upsilon_{2}=\vec\upsilon_{1}^{'} \left( m_{1}+m_{2}\frac{\vec\upsilon_{2}^{'}}{\vec\upsilon_{1}^{'}} \right)$$

			Введём переменную $x$:

			$$x=\frac{\vec\upsilon_{2}^{'}}{\vec\upsilon_{1}^{'}} \tag{2}$$

			Тогда выражение для $\vec\upsilon_{1}^{'}$ будет:

			$$\vec\upsilon_{1}^{'}=\frac{m_{1}\vec\upsilon_{1}+m_{2}\vec\upsilon_{2}}{m_{1}+m_{2}x} \tag{3}$$

			При ударе часть кинетической энергии переходит во внутреннюю. Искомая величина:

			$$\Delta E_{вн}=\frac{1}{2}m_{1}\upsilon_{1}^{2}+\frac{1}{2}m_{2}\upsilon_{2}^{2}-\left( \frac{1}{2}m_{1}\upsilon_{1}^{'2}+\frac{1}{2}m_{2}\upsilon_{2}^{'2} \right)$$

			Вынесем множитель $\frac{1}{2}\upsilon_{1}^{'2}$ за скобки:

			$$\Delta E_{вн}=\frac{1}{2}m_{1}\upsilon_{1}^{2}+\frac{1}{2}m_{2}\upsilon_{2}^{2}-\frac{1}{2}\upsilon_{1}^{'2}\left( m_{1}+m_{2}\frac{\upsilon_{2}^{'2}}{\upsilon_{1}^{'2}} \right)$$

			Подставим выражения (2) и (3):

			$$\Delta E_{вн}=\frac{1}{2}m_{1}\upsilon_{1}^{2}+\frac{1}{2}m_{2}\upsilon_{2}^{2}-\frac{1}{2}\left( \frac{m_{1}\vec\upsilon_{1}+m_{2}\vec\upsilon_{2}}{m_{1}+m_{2}x} \right)^{2}\left( m_{1}+m_{2}x^{2} \right) \tag{4}$$

			Мы получили функциональную зависимость $\Delta E_{вн}(x)$. Найдём при каком $x$ данная функция имеет максимум. Для этого сначала найдём первую производную и приравняем её к 0, найдём точку экстремума. Потом возьмём вторую производную и в точке экстремума покажем, что она менше 0 - это будет максимум. Дальнейшие выкладки будут чисто математическими, без комментариев.

			$$\frac{d \Delta E_{вн}(x)}{dx}=0$$
			$$-\frac{1}{2}\left( m_{1}\vec\upsilon_{1}+m_{2}\vec\upsilon_{2} \right)^{2}\cdot \frac{2m_{2}x(m_{1}+m_{2}x)^{2}-2(m_{1}+m_{2}x)m_{2}(m_{1}+m_{2}x^{2})}{(m_{1}+m_{2}x)^{4}}=0$$
			$$x(m_{1}+m_{2}x)^{2}-(m_{1}+m_{2}x)(m_{1}+m_{2}x^{2})=0$$
			$$x(m_{1}+m_{2}x)-(m_{1}+m_{2}x^{2})=0$$
			$$xm_{1}=m_{1}$$
			$$x=1 \tag{5}$$

		@@ -44,3 +44,26 @@Решение
			Мы нашли экстремум $x_{экс}=1$. Данная точка будет максимумом, если:

			$$\frac{d^{2} \Delta E_{вн}(x_{экс})}{dx^{2}}\lt 0$$
		+
		+	Сначала преобразуем первую производную к компактному виду:
		+
		+	$$\frac{d \Delta E_{вн}(x)}{dx}=-\left( m_{1}\vec\upsilon_{1}+m_{2}\vec\upsilon_{2} \right)^{2}m_{1}m_{2}\cdot \frac{x-1}{(m_{1}+m_{2}x)^{3}}$$
		+
		+	Берём вторую производную:
		+
		+	$$\frac{d^{2} \Delta E_{вн}(x)}{dx^{2}}=-\left( m_{1}\vec\upsilon_{1}+m_{2}\vec\upsilon_{2} \right)^{2}m_{1}m_{2}\cdot \frac{(m_{1}+m_{2}x)^{3}-3(m_{1}+m_{2}x)^{2}m_{2}(x-1)}{(m_{1}+m_{2}x)^{6}}$$
		+	$$\frac{d^{2} \Delta E_{вн}(x)}{dx^{2}}=-\left( m_{1}\vec\upsilon_{1}+m_{2}\vec\upsilon_{2} \right)^{2}m_{1}m_{2}\cdot \frac{m_{1}+m_{2}x-3m_{2}(x-1)}{(m_{1}+m_{2}x)^{4}}$$
		+
		+	Подставим $x=1$:
		+
		+	$$\frac{d^{2} \Delta E_{вн}(x_{экс})}{dx^{2}}=-\left( m_{1}\vec\upsilon_{1}+m_{2}\vec\upsilon_{2} \right)^{2}m_{1}m_{2}\cdot \frac{m_{1}+m_{2}}{(m_{1}+m_{2})^{4}}\lt 0$$
		+
		+	Итак, при $x=1$ функция $\Delta E_{вн}(x)$ принимает максимальное значение, то есть суммарная внутренняя энергия сталкивающихся тел наибольшая.
		+
		+	Подставим $x=1$ в (2):
		+
		+	$$1=\frac{\vec\upsilon_{2}^{'}}{\vec\upsilon_{1}^{'}}\Longrightarrow \vec\upsilon_{1}^{'}=\vec\upsilon_{2}^{'}$$
		+
		+	Это означает, что тела после столкновения двигаются с одинаковой мо модулю скоростью и в одном направлении - это абсолютно неупругий удар.
		+
		+	При абсолютно неупругом ударе происходит наибольшее увеличение внутренней энергии, так как тела теряют максимум своей кинетической энергии, переходящей во внутреннюю, при сохранении импульса системы.

	### Условие		### Условие

	$2.4.32.$ Докажите, что при абсолютно неупругом ударе происходит наибольшее увеличение суммарной внутренней энергии сталкивающихся тел. Предполагается, что в начальном и конечном состояниях потенциальной энергией взаимодействия тел между собой можно пренебречь.		$2.4.32.$ Докажите, что при абсолютно неупругом ударе происходит наибольшее увеличение суммарной внутренней энергии сталкивающихся тел. Предполагается, что в начальном и конечном состояниях потенциальной энергией взаимодействия тел между собой можно пренебречь.

	### Решение		### Решение

	Рассмотрим два тела массами $m_{1}$ и $m_{2}$, движущиеся с начальными скоростями $\vec\upsilon_{1}$ и $\vec\upsilon_{2}$ соответственно. Пусть тела сталкиваются, и в результате удара происходит перераспределение энергии. Потенциальной энергией взаимодействия пренебрегаем как в начале, так и в конце, поэтому разность между кинетической энергией до и после удара перейдёт во внутреннюю энергию (например, в тепло или деформацию). Удар считаем центральным. Пусть после удара скорости тел равны $\vec\upsilon_{1}^{'}$ и $\vec\upsilon_{2}^{'}$ соответственно.		Рассмотрим два тела массами $m_{1}$ и $m_{2}$, движущиеся с начальными скоростями $\vec\upsilon_{1}$ и $\vec\upsilon_{2}$ соответственно. Пусть тела сталкиваются, и в результате удара происходит перераспределение энергии. Потенциальной энергией взаимодействия пренебрегаем как в начале, так и в конце, поэтому разность между кинетической энергией до и после удара перейдёт во внутреннюю энергию (например, в тепло или деформацию). Удар считаем центральным. Пусть после удара скорости тел равны $\vec\upsilon_{1}^{'}$ и $\vec\upsilon_{2}^{'}$ соответственно.

	Наша система замкнута, поэтому в ней применим закон сохранения импульса:		Наша система замкнута, поэтому в ней применим закон сохранения импульса:

	$$m_{1}\vec\upsilon_{1}+m_{2}\vec\upsilon_{2}=m_{1}\vec\upsilon_{1}^{'}+m_{2}\vec\upsilon_{2}^{'} \tag{1}$$		$$m_{1}\vec\upsilon_{1}+m_{2}\vec\upsilon_{2}=m_{1}\vec\upsilon_{1}^{'}+m_{2}\vec\upsilon_{2}^{'} \tag{1}$$

	$$m_{1}\vec\upsilon_{1}+m_{2}\vec\upsilon_{2}=\vec\upsilon_{1}^{'} \left( m_{1}+m_{2}\frac{\vec\upsilon_{2}^{'}}{\vec\upsilon_{1}^{'}} \right)$$		$$m_{1}\vec\upsilon_{1}+m_{2}\vec\upsilon_{2}=\vec\upsilon_{1}^{'} \left( m_{1}+m_{2}\frac{\vec\upsilon_{2}^{'}}{\vec\upsilon_{1}^{'}} \right)$$

	Введём переменную $x$:		Введём переменную $x$:

	$$x=\frac{\vec\upsilon_{2}^{'}}{\vec\upsilon_{1}^{'}} \tag{2}$$		$$x=\frac{\vec\upsilon_{2}^{'}}{\vec\upsilon_{1}^{'}} \tag{2}$$

	Тогда выражение для $\vec\upsilon_{1}^{'}$ будет:		Тогда выражение для $\vec\upsilon_{1}^{'}$ будет:

	$$\vec\upsilon_{1}^{'}=\frac{m_{1}\vec\upsilon_{1}+m_{2}\vec\upsilon_{2}}{m_{1}+m_{2}x} \tag{3}$$		$$\vec\upsilon_{1}^{'}=\frac{m_{1}\vec\upsilon_{1}+m_{2}\vec\upsilon_{2}}{m_{1}+m_{2}x} \tag{3}$$

	При ударе часть кинетической энергии переходит во внутреннюю. Искомая величина:		При ударе часть кинетической энергии переходит во внутреннюю. Искомая величина:

	$$\Delta E_{вн}=\frac{1}{2}m_{1}\upsilon_{1}^{2}+\frac{1}{2}m_{2}\upsilon_{2}^{2}-\left( \frac{1}{2}m_{1}\upsilon_{1}^{'2}+\frac{1}{2}m_{2}\upsilon_{2}^{'2} \right)$$		$$\Delta E_{вн}=\frac{1}{2}m_{1}\upsilon_{1}^{2}+\frac{1}{2}m_{2}\upsilon_{2}^{2}-\left( \frac{1}{2}m_{1}\upsilon_{1}^{'2}+\frac{1}{2}m_{2}\upsilon_{2}^{'2} \right)$$

	Вынесем множитель $\frac{1}{2}\upsilon_{1}^{'2}$ за скобки:		Вынесем множитель $\frac{1}{2}\upsilon_{1}^{'2}$ за скобки:

	$$\Delta E_{вн}=\frac{1}{2}m_{1}\upsilon_{1}^{2}+\frac{1}{2}m_{2}\upsilon_{2}^{2}-\frac{1}{2}\upsilon_{1}^{'2}\left( m_{1}+m_{2}\frac{\upsilon_{2}^{'2}}{\upsilon_{1}^{'2}} \right)$$		$$\Delta E_{вн}=\frac{1}{2}m_{1}\upsilon_{1}^{2}+\frac{1}{2}m_{2}\upsilon_{2}^{2}-\frac{1}{2}\upsilon_{1}^{'2}\left( m_{1}+m_{2}\frac{\upsilon_{2}^{'2}}{\upsilon_{1}^{'2}} \right)$$

	Подставим выражения (2) и (3):		Подставим выражения (2) и (3):

	$$\Delta E_{вн}=\frac{1}{2}m_{1}\upsilon_{1}^{2}+\frac{1}{2}m_{2}\upsilon_{2}^{2}-\frac{1}{2}\left( \frac{m_{1}\vec\upsilon_{1}+m_{2}\vec\upsilon_{2}}{m_{1}+m_{2}x} \right)^{2}\left( m_{1}+m_{2}x^{2} \right) \tag{4}$$		$$\Delta E_{вн}=\frac{1}{2}m_{1}\upsilon_{1}^{2}+\frac{1}{2}m_{2}\upsilon_{2}^{2}-\frac{1}{2}\left( \frac{m_{1}\vec\upsilon_{1}+m_{2}\vec\upsilon_{2}}{m_{1}+m_{2}x} \right)^{2}\left( m_{1}+m_{2}x^{2} \right) \tag{4}$$

	Мы получили функциональную зависимость $\Delta E_{вн}(x)$. Найдём при каком $x$ данная функция имеет максимум. Для этого сначала найдём первую производную и приравняем её к 0, найдём точку экстремума. Потом возьмём вторую производную и в точке экстремума покажем, что она менше 0 - это будет максимум. Дальнейшие выкладки будут чисто математическими, без комментариев.		Мы получили функциональную зависимость $\Delta E_{вн}(x)$. Найдём при каком $x$ данная функция имеет максимум. Для этого сначала найдём первую производную и приравняем её к 0, найдём точку экстремума. Потом возьмём вторую производную и в точке экстремума покажем, что она менше 0 - это будет максимум. Дальнейшие выкладки будут чисто математическими, без комментариев.

	$$\frac{d \Delta E_{вн}(x)}{dx}=0$$		$$\frac{d \Delta E_{вн}(x)}{dx}=0$$
	$$-\frac{1}{2}\left( m_{1}\vec\upsilon_{1}+m_{2}\vec\upsilon_{2} \right)^{2}\cdot \frac{2m_{2}x(m_{1}+m_{2}x)^{2}-2(m_{1}+m_{2}x)m_{2}(m_{1}+m_{2}x^{2})}{(m_{1}+m_{2}x)^{4}}=0$$		$$-\frac{1}{2}\left( m_{1}\vec\upsilon_{1}+m_{2}\vec\upsilon_{2} \right)^{2}\cdot \frac{2m_{2}x(m_{1}+m_{2}x)^{2}-2(m_{1}+m_{2}x)m_{2}(m_{1}+m_{2}x^{2})}{(m_{1}+m_{2}x)^{4}}=0$$
	$$x(m_{1}+m_{2}x)^{2}-(m_{1}+m_{2}x)(m_{1}+m_{2}x^{2})=0$$		$$x(m_{1}+m_{2}x)^{2}-(m_{1}+m_{2}x)(m_{1}+m_{2}x^{2})=0$$
	$$x(m_{1}+m_{2}x)-(m_{1}+m_{2}x^{2})=0$$		$$x(m_{1}+m_{2}x)-(m_{1}+m_{2}x^{2})=0$$
	$$xm_{1}=m_{1}$$		$$xm_{1}=m_{1}$$
	$$x=1 \tag{5}$$		$$x=1 \tag{5}$$

	@@ -44,3 +44,26 @@Решение
	Мы нашли экстремум $x_{экс}=1$. Данная точка будет максимумом, если:		Мы нашли экстремум $x_{экс}=1$. Данная точка будет максимумом, если:

	$$\frac{d^{2} \Delta E_{вн}(x_{экс})}{dx^{2}}\lt 0$$		$$\frac{d^{2} \Delta E_{вн}(x_{экс})}{dx^{2}}\lt 0$$

			Сначала преобразуем первую производную к компактному виду:

			$$\frac{d \Delta E_{вн}(x)}{dx}=-\left( m_{1}\vec\upsilon_{1}+m_{2}\vec\upsilon_{2} \right)^{2}m_{1}m_{2}\cdot \frac{x-1}{(m_{1}+m_{2}x)^{3}}$$

			Берём вторую производную:

			$$\frac{d^{2} \Delta E_{вн}(x)}{dx^{2}}=-\left( m_{1}\vec\upsilon_{1}+m_{2}\vec\upsilon_{2} \right)^{2}m_{1}m_{2}\cdot \frac{(m_{1}+m_{2}x)^{3}-3(m_{1}+m_{2}x)^{2}m_{2}(x-1)}{(m_{1}+m_{2}x)^{6}}$$
			$$\frac{d^{2} \Delta E_{вн}(x)}{dx^{2}}=-\left( m_{1}\vec\upsilon_{1}+m_{2}\vec\upsilon_{2} \right)^{2}m_{1}m_{2}\cdot \frac{m_{1}+m_{2}x-3m_{2}(x-1)}{(m_{1}+m_{2}x)^{4}}$$

			Подставим $x=1$:

			$$\frac{d^{2} \Delta E_{вн}(x_{экс})}{dx^{2}}=-\left( m_{1}\vec\upsilon_{1}+m_{2}\vec\upsilon_{2} \right)^{2}m_{1}m_{2}\cdot \frac{m_{1}+m_{2}}{(m_{1}+m_{2})^{4}}\lt 0$$

			Итак, при $x=1$ функция $\Delta E_{вн}(x)$ принимает максимальное значение, то есть суммарная внутренняя энергия сталкивающихся тел наибольшая.

			Подставим $x=1$ в (2):

			$$1=\frac{\vec\upsilon_{2}^{'}}{\vec\upsilon_{1}^{'}}\Longrightarrow \vec\upsilon_{1}^{'}=\vec\upsilon_{2}^{'}$$

			Это означает, что тела после столкновения двигаются с одинаковой мо модулю скоростью и в одном направлении - это абсолютно неупругий удар.

			При абсолютно неупругом ударе происходит наибольшее увеличение внутренней энергии, так как тела теряют максимум своей кинетической энергии, переходящей во внутреннюю, при сохранении импульса системы.