Edit to “Условие”

igor edited Apr 18, 2025, 6:30 AM

View solution History

revision #14328 parent #14327 ← older newer →

ru/11.4.1.md +0 −1

		@@ -1,8 +1,7 @@
			### Условие

			$11.4.1.$ Батарея без внутреннего сопротивления подключена к соленоиду индуктивности $L$. Определите зависимость тока в цепи от времени, если ЭДС батареи $\mathscr E$. Найдите работу батареи за время $\tau$. В какой вид энергии превращается эта работа?

		−
			### Решение


			#### Закон изменения тока


			Пусть батарею в момент времени $t=0$ подключают к индуктивности. Запишем второе правило Кирхгофа для цепи после замыкания:

			$$
			L\frac{di}{dt}=\mathscr E.
			$$

			Представим это иначе и проинтегрируем:

			\begin{gather}
			di=\frac{\mathscr E}{L}dt,\\\\
			\int di=\frac{\mathscr E}{L}\int dt,\\\\
			i=\frac{\mathscr E}{L}t+C.\tag{1}
			\end{gather}

			Постоянная $C$ интегрирования находится из начальных условий по формуле $(1)$, считая, что при $t=0$ ток через катушку $i=0$ (и не может измениться скачком ни в каком случае):

			$$
			0=\frac{\mathscr E\cdot0}{L}+C\quad \Rightarrow\quad C=0.
			$$

			Итак, закон изменения тока:

			$$
			i=\frac{\mathscr E}{L}t.
			$$


			#### Работа батареи


			Для источника формула работы в дифференциальной форме такова:

			$$
			dA=\mathscr Ei(t)\,dt,
			$$

			здесь запись $i(t)$ означает, что ток зависит от времени.

			Подставим найденный закон $i(t)$ в предыдущее уравнение и проинтегрируем:

			\begin{gather}
			\int dA=\mathscr E\int\frac{\mathscr E}{L}t\,dt,\\\\
			A=\frac{\mathscr E^2}{L}\cdot\frac{t^2}{2}+B.\tag{2}
			\end{gather}

			Считая что к моменту $t=0$ источник совершил работу $A=0$, находим постоянную интегрирования $B$ из формулы $(2)$:

			$$
			0=\frac{\mathscr E^2}{L}\cdot\frac{0^2}{2}+B\quad \Rightarrow \quad B=0.
			$$

			Запишем, чему равна работа $A$ за промежуток времени $\tau$:

			$$
			A(\tau)=\frac{\mathscr E^2\tau^2}{2L}.
			$$

			Работа источника превращается в энергию магнитного поля катушки.


			#### Литература


			[1] Зельдович Я. Б. «Высшая математика для начинающих и ее приложения к физике» (2010).


			#### Ответ

			$$
			i=\dfrac{\mathscr Et}{L};
			$$

			$$
			A=\dfrac{\mathscr E^2\tau^2}{2L};
			$$
		unchanged lines 78

	@@ -1,8 +1,7 @@
	### Условие		### Условие

	$11.4.1.$ Батарея без внутреннего сопротивления подключена к соленоиду индуктивности $L$. Определите зависимость тока в цепи от времени, если ЭДС батареи $\mathscr E$. Найдите работу батареи за время $\tau$. В какой вид энергии превращается эта работа?		$11.4.1.$ Батарея без внутреннего сопротивления подключена к соленоиду индуктивности $L$. Определите зависимость тока в цепи от времени, если ЭДС батареи $\mathscr E$. Найдите работу батареи за время $\tau$. В какой вид энергии превращается эта работа?


	### Решение		### Решение


	#### Закон изменения тока		#### Закон изменения тока


	Пусть батарею в момент времени $t=0$ подключают к индуктивности. Запишем второе правило Кирхгофа для цепи после замыкания:		Пусть батарею в момент времени $t=0$ подключают к индуктивности. Запишем второе правило Кирхгофа для цепи после замыкания:

	$$		$$
	L\frac{di}{dt}=\mathscr E.		L\frac{di}{dt}=\mathscr E.
	$$		$$

	Представим это иначе и проинтегрируем:		Представим это иначе и проинтегрируем:

	\begin{gather}		\begin{gather}
	di=\frac{\mathscr E}{L}dt,\\\\		di=\frac{\mathscr E}{L}dt,\\\\
	\int di=\frac{\mathscr E}{L}\int dt,\\\\		\int di=\frac{\mathscr E}{L}\int dt,\\\\
	i=\frac{\mathscr E}{L}t+C.\tag{1}		i=\frac{\mathscr E}{L}t+C.\tag{1}
	\end{gather}		\end{gather}

	Постоянная $C$ интегрирования находится из начальных условий по формуле $(1)$, считая, что при $t=0$ ток через катушку $i=0$ (и не может измениться скачком ни в каком случае):		Постоянная $C$ интегрирования находится из начальных условий по формуле $(1)$, считая, что при $t=0$ ток через катушку $i=0$ (и не может измениться скачком ни в каком случае):

	$$		$$
	0=\frac{\mathscr E\cdot0}{L}+C\quad \Rightarrow\quad C=0.		0=\frac{\mathscr E\cdot0}{L}+C\quad \Rightarrow\quad C=0.
	$$		$$

	Итак, закон изменения тока:		Итак, закон изменения тока:

	$$		$$
	i=\frac{\mathscr E}{L}t.		i=\frac{\mathscr E}{L}t.
	$$		$$


	#### Работа батареи		#### Работа батареи


	Для источника формула работы в дифференциальной форме такова:		Для источника формула работы в дифференциальной форме такова:

	$$		$$
	dA=\mathscr Ei(t)\,dt,		dA=\mathscr Ei(t)\,dt,
	$$		$$

	здесь запись $i(t)$ означает, что ток зависит от времени.		здесь запись $i(t)$ означает, что ток зависит от времени.

	Подставим найденный закон $i(t)$ в предыдущее уравнение и проинтегрируем:		Подставим найденный закон $i(t)$ в предыдущее уравнение и проинтегрируем:

	\begin{gather}		\begin{gather}
	\int dA=\mathscr E\int\frac{\mathscr E}{L}t\,dt,\\\\		\int dA=\mathscr E\int\frac{\mathscr E}{L}t\,dt,\\\\
	A=\frac{\mathscr E^2}{L}\cdot\frac{t^2}{2}+B.\tag{2}		A=\frac{\mathscr E^2}{L}\cdot\frac{t^2}{2}+B.\tag{2}
	\end{gather}		\end{gather}

	Считая что к моменту $t=0$ источник совершил работу $A=0$, находим постоянную интегрирования $B$ из формулы $(2)$:		Считая что к моменту $t=0$ источник совершил работу $A=0$, находим постоянную интегрирования $B$ из формулы $(2)$:

	$$		$$
	0=\frac{\mathscr E^2}{L}\cdot\frac{0^2}{2}+B\quad \Rightarrow \quad B=0.		0=\frac{\mathscr E^2}{L}\cdot\frac{0^2}{2}+B\quad \Rightarrow \quad B=0.
	$$		$$

	Запишем, чему равна работа $A$ за промежуток времени $\tau$:		Запишем, чему равна работа $A$ за промежуток времени $\tau$:

	$$		$$
	A(\tau)=\frac{\mathscr E^2\tau^2}{2L}.		A(\tau)=\frac{\mathscr E^2\tau^2}{2L}.
	$$		$$

	Работа источника превращается в энергию магнитного поля катушки.		Работа источника превращается в энергию магнитного поля катушки.


	#### Литература		#### Литература


	[1] Зельдович Я. Б. «Высшая математика для начинающих и ее приложения к физике» (2010).		[1] Зельдович Я. Б. «Высшая математика для начинающих и ее приложения к физике» (2010).


	#### Ответ		#### Ответ

	$$		$$
	i=\dfrac{\mathscr Et}{L};		i=\dfrac{\mathscr Et}{L};
	$$		$$

	$$		$$
	A=\dfrac{\mathscr E^2\tau^2}{2L};		A=\dfrac{\mathscr E^2\tau^2}{2L};
	$$		$$
	unchanged lines 78