Решение

Если поставить плиту на расстоянии $l$ от положения равновесия, тогда движение шарика происходит в диапазоне от $-A$ до $+l$. В точке $+l$ шарик упруго ударяется: модуль скорости остаётся прежним, а направление скорости меняется на противоположное. Шарик после удара движется от $+l$ до $-A$. Получается колебательное движение с периодом $T=2t$, где $t$ - это время движения шарика от точки $-A$ до $+l$.

Без плиты шарик совершает гармонические колебания. Если принять, что в нулевой момент времени, его координата равна $-A$, а скорость равна 0, то уравнение движения шарика можно записать так:

$$x=-A\cos\omega t=A\cos(\pi-\omega t)$$

где $\omega=\frac{2\pi}{T_{0}}$ частота колебаний.

Найдём момент времени, когда координата шарика станет равной $l$:

$$l=A\cos\left( \pi-\frac{2\pi}{T_{0}} t \right)$$
$$\pi-\frac{2\pi}{T_{0}} t=\arccos\frac{l}{A}$$
$$t=\frac{T_{0}}{2\pi}\left( \pi-\arccos\frac{l}{A} \right)$$

Но новый период, как указывалось выше, $T=2t$:

$$T=\frac{2T_{0}}{2\pi}\left( \pi-\arccos\frac{l}{A} \right)=\frac{T_{0}}{\pi}\left( \pi-\arccos\frac{l}{A} \right)$$

Выразим отсюда $l$:

$$\arccos\frac{l}{A}=\pi-\frac{\pi T}{T_{0}}=\pi\left( 1-\frac{T}{T_{0}} \right)$$
$$l=A\cos\left[ \pi\left( 1-\frac{T}{T_{0}} \right) \right]$$