Edits to “Условие”, “Решение”, “Ответ”

emixter edited
View solution History
revision #14402 parent #14401 ← older newer →
ru/10.2.11.md +52 −3
@@ -1,11 +1,60 @@
### Условие
−$10.2.11.$ [Вставьте условие задачи]
+$10.2.11.$ Найдите скорость дрейфа частицы с зарядом $q$ в перпендикулярных друг другу магнитном поле индукции $B$ и поле постоянной силы $F$.
### Решение
−вап
+На частицу действует сила Лоренца и сила $F$. Запишем уравнение движения частицы по второму закону Ньютона в векторной форме:
+$$m\frac{d \vec \upsilon}{dt}=q\left[ \vec \upsilon\times \vec B \right]+ \vec F$$
+
+Представим скорость частицы как векторную сумму скоростей:
+
+$$\vec \upsilon(t)=\vec \upsilon_{др}+\vec \upsilon_{вр}(t)$$
+
+где $\vec \upsilon_{др}$ - постоянная скорость дрейфа (не зависит от времени);
+
+$\vec \upsilon_{вр}(t)$ - переменная составляющая, описывающая вращательное (циклическое) движение.
+
+Подставим это разложение в уравнение движения, с учётом того, что $\frac{d \vec \upsilon_{др}}{dt}=0$:
+
+$$m\frac{d \vec \upsilon_{вр}}{dt}=q\left[ \left( \vec \upsilon_{др}+\vec \upsilon_{вр} \right) \times \vec B \right]+ \vec F$$
+
+Преобразуем к виду:
+
+$$m\frac{d \vec \upsilon_{вр}}{dt}=q\left[ \vec \upsilon_{вр} \times \vec B \right]+ \left( q\left[ \vec \upsilon_{др} \times \vec B \right]+ \vec F \right)$$
+
+Чтобы $\vec \upsilon_{вр}(t)$ описывало чисто вращательное движение (без ускорения из-за силы $\vec F$), нужно, чтобы постоянный дрейф устранял действие силы:
+
+$$q\left[ \vec \upsilon_{др} \times \vec B \right]+ \vec F=0$$
+
+Другими словами мы можем перейти в такую систему отсчёта, которая движется относительно первоначальной со скоростью $\vec \upsilon_{др}$, что в ней частица будет только вращаться под действием магнитного поля.
+
+Перепишем последнее уравнение в виде:
+
+$$q\left[ \vec \upsilon_{др} \times \vec B \right]= - \vec F$$
+
+Домножим векторно слева на вектор $\vec B$:
+
+$$q \left[ \vec B \times \left[ \vec \upsilon_{др} \times \vec B \right] \right]= - \left[ \vec B \times \vec F \right] \tag{1}$$
+
+Теперь воспользуемся двумя свойствами векторного произведения:
+
+1. Антикоммутативность: $- \left[ \vec B \times \vec F \right] = \left[ \vec F \times \vec B \right]$
+
+2. Тождество Лагранжа: $\left[ \vec B \times \left[ \vec \upsilon_{др} \times \vec B \right] \right]= \vec \upsilon_{др}(\vec B\cdot \vec B)-\vec B(\vec B\cdot \vec \upsilon_{др})$
+
+Тогда выражение (1) можна переписать следующим образом:
+
+$$q \vec \upsilon_{др}(\vec B\cdot \vec B)-q\vec B(\vec B\cdot \vec \upsilon_{др})=\left[ \vec F \times \vec B \right]$$
+
+Скалярные произведения $(\vec B\cdot \vec B)=B^{2}$ и вектор скорости дрейфа перпендикулярен вектору магнитной индукции $(\vec B\cdot \vec \upsilon_{др})=0$. С учётом этого получим:
+
+$$q \vec \upsilon_{др}B^{2}=\left[ \vec F \times \vec B \right]$$
+$$\vec \upsilon_{др}=\frac{\left[ \vec F \times \vec B \right]}{qB^{2}}$$
+
+Итак, скорость дрейфа
+
#### Ответ
−[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]
+$$\upsilon_{др}=\frac{F}{qB}$$