Решение

При вхождении в магнитное поле внешней силой по отношению к стержню является сила Лоренца, но ее работа равна нулю (действие этой силы на заряды перпендикулярно скорости зарядов) [1]. Поэтому можно рассматривать стержень как изолированную систему и записать закон сохранения энергии для нее:

$$W_1=W_2,\tag{1}$$
где $W_1$ и $W_2$ есть энергии стержня вне поля и в поле.

Полагаем, что энергия магнитного поля в стержне вдали от поля равна нулю. Энергия $W_1$ включает в себя только кинетическую энергию $K_1$; а $W_2$ состоит в общем случае из кинетической энергии $K_2$ и энергии $W_\text{мс}$ магнитного поля, созданного индуцированным током в стержне для компенсации магнитного потока внешнего поля через стержень (магнитный поток в стержне сохраняется; см. предыдущие задачи в этом параграфе задачника Савченко).

Учитывая сказанное, записанный закон сохранения $(1)$ перепишется:

$$K_1=K_2+W_\text{мс}.\tag{2}$$

Кинетическая энергия, конечно, равна

$$K=\frac{mv^2}{2}.$$

где $v$ есть скорость стержня.

Энергия магнитного поля $W_\text{мс}$ может быть выражена через плотность соответствующей энергии $w_\text{мс}=\dfrac{B_\text{мс}^2}{2\mu_0}$ так [2]:

$$W_\text{мс}=w_\text{мс}V=\frac{B_\text{мс}^2}{2\mu_0}Sl,$$
где $V=Sl$ есть объем стержня как цилиндра; $B_\text{мс}$ есть индукция магнитного поля внутри стержня, созданного наведенным током в приповерхностном слое стержня (подобно соленоиду) [3]; $\mu_0$ есть магнитная постоянная.

По закону сохранения магнитного потока через сверхпроводящий контур также должно быть следующее. Стержень конце процесса вхождения в поле создает внутри себя свое магнитное поле, индукция которого равна индукции внешнего поля: $B_\text{мс}=B$.

Теперь формула $(2)$ выглядит так:

$$\frac{mv_1^2}{2}=\frac{mv_2^2}{2}+\frac{B^2}{2\mu_0}Sl$$

Видно, что минимуму скорости $v_1$ отвечает ситуация $v_2=0$, так что

$$\frac{mv_\mathrm{1\,min}^2}{2}=\frac{B^2}{2\mu_0}Sl.$$

Отсюда находим:

$$v_\mathrm{1\,min}=B\sqrt{\frac{Sl}{\mu_0 m}}.$$