Решение

Для упрощения вычисления предположим, что:

$$R_c \gg R$$

В таком случае, время падения примерно будет равно половине периода:

$$t=\frac{T}{2}$$

Большая полуось в единицах $R$ и $R_c$:

$$a=\frac{R_c+R}{2}$$

Закон Кеплера:

$$\frac{T^2}{a^3}=\frac{4\pi^2}{\gamma M}$$

Используем ускорение свободного падения $g$:

$$\gamma M=gR^2$$

Решаем дальше:

$$\frac{T^2}{4}=\frac{\pi^2a^3}{gR^2}=t^2$$

$$t^2=\frac{\pi^2(R+R_c)^3}{8gR^2}$$

Получаем ответ:

$$\boxed{t=\pi\sqrt{R/g}[(1+R_c/R)/2]^{3/2}}$$