Решение

Для упрощения вычисления предположим, что:
$$R_c>>R$$
В таком случае, время падения примерно будет равно половине периода:
$$t=\frac{T}{2}$$
Большая полуось в единицах $R$ и $R_c$:
$$a=\frac{R_c+R}{2}$$
Закон Кеплера:
$$\frac{T^2}{a^3}=\frac{4\pi^2}{\gamma M}$$
Используем $g$:
$$\gamma M=gR^2$$
Решаем дальше:
$$\frac{T^2}{4}=\frac{\pi^2a^3}{gR^2}=t^2$$

$$t^2=\frac{\pi^2(R+R_c)^3}{8gR^2}$$
Получаем ответ:
$$\boxed{t=\pi\sqrt{R/g}[(1+R_c/R)/2]^{3/2}}$$