Решение

a) Найдем центр масс прямого угла

Центр масс будет отстоять от вершины угла по вертикали и горизонтали на

$$x_c =y_c = \frac{L}{4}$$

Откуда расстояние до вершины угла.

$$l = L \frac{\sqrt{2}}{4}$$

б) Перейдем к равностороннему треугольнику

Центр масс будет отстаять от каждой стороны на величину

$$x_c = \frac{0 \cdot \frac{m}{3} + \frac{l}{6}\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{m}{3}\cdot 2}{m}$$

$$x_c = \frac{l}{6\sqrt{3}}$$

И эта точка будет являться центроидом треугольника

в) Чтобы найти центр масс номерка, представим номерок как суперпозицию диска с поверхностной плотностью $\sigma$ на которого наложили диск с отрицательной плотностью $-\sigma$

Найдем расстояния центра масс от центра номерка

$$x_c = \frac{0 \cdot \sigma R^2 - d \sigma r^2}{\sigma R^2 - \sigma r^2}$$

Таким образом, расстояние на котором будет находиться центр масс номерка

$$l = d \frac{r^2}{R^2 - r^2}$$