$11.5.28^*.$ Если длинный идеально проводящий тонкостенный цилиндр раскрутить вокруг своей оси, то внутри цилиндра возникает магнитное поле. Найдите его индукцию, если угловая скорость цилиндра $\omega$.
### Решение
Проведем рассуждения для произвольного контура, проходящего внутри стенки цилиндра перепендикулярно его оси (вдали от торцов цилиндра). По закону электромагнитной индукции
$$
\mathscr E_i=-\frac{d\Phi}{dt},\tag{1}
$$
где $\mathscr E_i$ есть ЭДС индукции вихревого электрического поля, создаваемого изменением полного(!) магнитного потока $\Phi$ через контур.
Для нашего контура с учетом длинности цилиндра имеем
$$
d\Phi=S\,dB,\tag{2}
$$
где $S$ есть площадь охвата контура, $B$ есть индукция магнитного поля в цилиндре (магнитное поле внутри цилиндра однородное).
ЭДС $\mathscr E_i$ будет разгонять электроны в стенках цилиндра [1]:
здесь $E_i$ есть напряженность индуцированного электрического поля в стенке цилиндра, $r$ есть радиус цилиндра, $F_i$ есть сила, действующая на электрон со стороны поля $E_i$.
Будем считать, что за приращение времени $dt$ электроны получают прирост скорости $dv=r\,d\omega$. То есть электроны не отстают от вращения положительных ионов.
Подставляем $(3)$ и $(2)$ в $(1)$ и после сокращений получаем:
$$
−
\frac{2m_e}{e}d\omega=-dB
+
\frac{2m_e}{e}d\omega=-dB.
$$
Интегрируем это и получаем:
$$
\frac{2m_e}{e}\omega=-B+C.
$$
Константа $C$ интегрирования находится из условия, что, когда $\omega=0$, то и $B=0$; то есть $C=0$.
Итак, с точностью до знака
$$
B=\frac{2m_e}{e}\omega.
$$
Выводы этой формулы приводятся, например, в статье [2].
@@ -64,8 +64,7 @@Решение
#### Литература
−
[1] С. Гордюнин. «Идеальные проводники и кинетическая индуктивность».
−
В: Квант 4 (1996), с. 40—41.
+
[1] С. Гордюнин. «Идеальные проводники и кинетическая индуктивность». В: Квант 4 (1996), с. 40—41.
[2] Hirsch, J. E. (2014). The London moment: What a rotating superconductor reveals about superconductivity. Physica Scripta, 89(1), 015806. [https://doi.org/10.1088/0031-8949/89/01/015806](https://doi.org/10.1088/0031-8949/89/01/015806)
#### Ответ
$$
B=\frac{2m_e}{e}\omega.
$$
unchanged lines 5
### Условие
### Условие
$11.5.28^*.$ Если длинный идеально проводящий тонкостенный цилиндр раскрутить вокруг своей оси, то внутри цилиндра возникает магнитное поле. Найдите его индукцию, если угловая скорость цилиндра $\omega$.
$11.5.28^*.$ Если длинный идеально проводящий тонкостенный цилиндр раскрутить вокруг своей оси, то внутри цилиндра возникает магнитное поле. Найдите его индукцию, если угловая скорость цилиндра $\omega$.
### Решение
### Решение
Проведем рассуждения для произвольного контура, проходящего внутри стенки цилиндра перепендикулярно его оси (вдали от торцов цилиндра). По закону электромагнитной индукции
Проведем рассуждения для произвольного контура, проходящего внутри стенки цилиндра перепендикулярно его оси (вдали от торцов цилиндра). По закону электромагнитной индукции
$$
$$
\mathscr E_i=-\frac{d\Phi}{dt},\tag{1}
\mathscr E_i=-\frac{d\Phi}{dt},\tag{1}
$$
$$
где $\mathscr E_i$ есть ЭДС индукции вихревого электрического поля, создаваемого изменением полного(!) магнитного потока $\Phi$ через контур.
где $\mathscr E_i$ есть ЭДС индукции вихревого электрического поля, создаваемого изменением полного(!) магнитного потока $\Phi$ через контур.
Для нашего контура с учетом длинности цилиндра имеем
Для нашего контура с учетом длинности цилиндра имеем
$$
$$
d\Phi=S\,dB,\tag{2}
d\Phi=S\,dB,\tag{2}
$$
$$
где $S$ есть площадь охвата контура, $B$ есть индукция магнитного поля в цилиндре (магнитное поле внутри цилиндра однородное).
где $S$ есть площадь охвата контура, $B$ есть индукция магнитного поля в цилиндре (магнитное поле внутри цилиндра однородное).
ЭДС $\mathscr E_i$ будет разгонять электроны в стенках цилиндра [1]:
ЭДС $\mathscr E_i$ будет разгонять электроны в стенках цилиндра [1]:
здесь $E_i$ есть напряженность индуцированного электрического поля в стенке цилиндра, $r$ есть радиус цилиндра, $F_i$ есть сила, действующая на электрон со стороны поля $E_i$.
здесь $E_i$ есть напряженность индуцированного электрического поля в стенке цилиндра, $r$ есть радиус цилиндра, $F_i$ есть сила, действующая на электрон со стороны поля $E_i$.
Будем считать, что за приращение времени $dt$ электроны получают прирост скорости $dv=r\,d\omega$. То есть электроны не отстают от вращения положительных ионов.
Будем считать, что за приращение времени $dt$ электроны получают прирост скорости $dv=r\,d\omega$. То есть электроны не отстают от вращения положительных ионов.
Подставляем $(3)$ и $(2)$ в $(1)$ и после сокращений получаем:
Подставляем $(3)$ и $(2)$ в $(1)$ и после сокращений получаем:
$$
$$
\frac{2m_e}{e}d\omega=-dB
\frac{2m_e}{e}d\omega=-dB.
$$
$$
Интегрируем это и получаем:
Интегрируем это и получаем:
$$
$$
\frac{2m_e}{e}\omega=-B+C.
\frac{2m_e}{e}\omega=-B+C.
$$
$$
Константа $C$ интегрирования находится из условия, что, когда $\omega=0$, то и $B=0$; то есть $C=0$.
Константа $C$ интегрирования находится из условия, что, когда $\omega=0$, то и $B=0$; то есть $C=0$.
Итак, с точностью до знака
Итак, с точностью до знака
$$
$$
B=\frac{2m_e}{e}\omega.
B=\frac{2m_e}{e}\omega.
$$
$$
Выводы этой формулы приводятся, например, в статье [2].
Выводы этой формулы приводятся, например, в статье [2].
@@ -64,8 +64,7 @@Решение
#### Литература
#### Литература
[1] С. Гордюнин. «Идеальные проводники и кинетическая индуктивность».
[1] С. Гордюнин. «Идеальные проводники и кинетическая индуктивность». В: Квант 4 (1996), с. 40—41.
В: Квант 4 (1996), с. 40—41.
[2] Hirsch, J. E. (2014). The London moment: What a rotating superconductor reveals about superconductivity. Physica Scripta, 89(1), 015806. [https://doi.org/10.1088/0031-8949/89/01/015806](https://doi.org/10.1088/0031-8949/89/01/015806)
[2] Hirsch, J. E. (2014). The London moment: What a rotating superconductor reveals about superconductivity. Physica Scripta, 89(1), 015806. [https://doi.org/10.1088/0031-8949/89/01/015806](https://doi.org/10.1088/0031-8949/89/01/015806)
