Решение

Поскольку пузырь мыльный, у него две поверхности: внутренняя и внешняя. Каждая создает дополнительное давление из-за поверхностного натяжения (Лапласовое давление):

$$P_{л}=\frac{4\sigma}{r}$$

Давление внутри пузыря:

$$P=P_{0}+\frac{4\sigma}{r} \tag{1}$$

Масса пузыря состоит из массы мыльной плёнки и массы гарячего воздуха. Масса плёнки равна:

$$m_{пл}=\rho\cdot 4\pi r^{2}\cdot \delta \tag{2}$$

Условие равновесия (сила Архимеда уравновешивает вес пузыря):

$$\rho_{0}Vg=(m_{пл}+m_{г})g \tag{3}$$

где $\rho_{0}$ - плотность окружающего воздуха. Массу воздуха найдём из уравнения состояния идеального газа:

$$PV=\frac{m_{г}}{\mu}RT \Longrightarrow m_{г}=\frac{\mu PV}{RT} \tag{4}$$

Подставим (2) и (4) в (3):

$$\rho_{0}V=\rho\cdot 4\pi r^{2}\cdot \delta+\frac{\mu PV}{RT}$$
$$\rho_{0}=\frac{\rho\cdot 4\pi r^{2}\cdot \delta}{V}+\frac{\mu P}{RT}$$

Объём пузыря: $V=\frac{4}{3}\pi r^{3}$, тогда

$$\rho_{0}=\frac{\rho\cdot 4\pi r^{2}\cdot \delta}{\frac{4}{3}\pi r^{3}}+\frac{\mu P}{RT}$$
$$\rho_{0}=\frac{3\rho \delta}{r}+\frac{\mu P}{RT} \tag{5}$$

Плотность окружающего воздуха выразим из уравнения состояния идеального газа:

$$\rho_{0}=\frac{\mu P_{0}}{RT_{0}} \tag{6}$$

Подставим (6) и (1) в (5):

$$\frac{\mu P_{0}}{RT_{0}}=\frac{3\rho \delta}{r}+\frac{\mu (P_{0}+\frac{4\sigma}{r})}{RT}$$

Отсюда выразим $T$:

$$T=T_{0}\frac{\mu(P_{0}r+4\sigma)}{\mu P_{0}r-3\delta RT_{0}\rho}$$