Решение

Решим данную задачу так, как бы её решали студенты 1 курса на курсе теоретической механики. Надеюсь, что этот методологический приём расширит горизонты физического познания школьников и побудит к дальнейшему изучению приёмов теоретической механики.

Пусть поршень перемещается на расстояние $x(t)$ от положения равновесия. Жидкость должна перетекать из одной половины в другую через узкий канал внутри поршня. Это вызывает движение жидкости в канале, а значит жидкость приобретает кинетическую энергию. Поскольку жидкость идеальна и несжимаема, для неё можно применить уравнение неразрывности (другими словами закон сохранения массы): $S\upsilon=const$. Обозначим скорость жидкости в канале через $\upsilon$, скорость жидкости прямо перед поршнем - $\dot{x}$ (считаем, что жидкость двигается со скоростью поршня), тогда уравнение неразрывности приобретает вид:

$$\pi R^{2}\dot{x}=\pi r^{2}\upsilon$$

Отсюда скорость жидкости в канале:

$$\upsilon=\frac{R^{2}}{r^{2}}\dot{x}$$

Масса всей жидкости в канале:

$$m_{ж}=\rho\pi r^{2}l$$

Кинетическая энергия жидкости:

$$T_{ж}=\frac{1}{2}m_{ж}\upsilon^{2}=\frac{1}{2}\rho\pi r^{2}l\left( \frac{R^{2}}{r^{2}}\dot{x} \right)^{2}=\frac{1}{2}\rho\pi l\frac{R^{4}}{r^{2}}\dot{x}^{2}$$

Полная кинетическая энергия системы состоит из кинетической энергии самого поршня и жидкости в нём:

$$T=T_{п}+T_{ж}=\frac{1}{2}m\dot{x}^{2}+\frac{1}{2}\rho\pi l\frac{R^{4}}{r^{2}}\dot{x}^{2}=\frac{1}{2}\left( m+\rho\pi l\frac{R^{4}}{r^{2}} \right)\dot{x}^{2}$$

Потенциальная энергия системы состоит только из потенциальной энергии пружины:

$$U=\frac{1}{2}kx^{2}$$

Лагранжиан системы:

$$\mathcal{L}=T-U=\frac{1}{2}\left( m+\rho\pi l\frac{R^{4}}{r^{2}} \right)\dot{x}^{2}-\frac{1}{2}kx^{2}$$

Запишем уравнение Эйлера-Лагранжа:

$$\frac{d }{dt}\left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x}} \right)-\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x}=0$$

Вычислим частные производные:

$$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x}}=\left( m+\rho\pi l\frac{R^{4}}{r^{2}} \right)\dot{x}$$
$$\frac{d }{dt}\left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x}} \right)=\left( m+\rho\pi l\frac{R^{4}}{r^{2}} \right)\ddot{x}$$
$$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x}=-kx$$

Подставим найденные выражения производных в уравнение Эйлера-Лагранжа:

$$\left( m+\rho\pi l\frac{R^{4}}{r^{2}} \right)\ddot{x}+kx=0$$
$$\ddot{x}+\frac{k}{m+\rho\pi l\frac{R^{4}}{r^{2}}}x=0$$

Это уравнение движения гармонического осциллятора в виде $\ddot{x}+\omega^{2}x=0$, где $\omega$ - циклическая частота:

$$\omega^{2}=\frac{k}{m+\rho\pi l\frac{R^{4}}{r^{2}}}$$

Отсюда:

$$\omega=\sqrt{\frac{k}{m+\pi\rho l\frac{R^{4}}{r^{2}}}}$$