| Решим данную задачу так, как бы её решали студенты 1 курса на курсе теоретической механики. Надеюсь, что этот методологический приём расширит горизонты физического познания школьников и побудит к дальнейшему изучению приёмов теоретической механики. | | Решим данную задачу так, как бы её решали студенты 1 курса на курсе теоретической механики. Надеюсь, что этот методологический приём расширит горизонты физического познания школьников и побудит к дальнейшему изучению приёмов теоретической механики. |
| | | |
| Пусть поршень перемещается на расстояние $x(t)$ от положения равновесия. Жидкость должна перетекать из одной половины в другую через узкий канал внутри поршня. Это вызывает движение жидкости в канале, а значит жидкость приобретает кинетическую энергию. Поскольку жидкость идеальна и несжимаема, для неё можно применить уравнение неразрывности (другими словами закон сохранения массы): $S\upsilon=const$. Обозначим скорость жидкости в канале через $\upsilon$, скорость жидкости прямо перед поршнем - $\dot{x}$ (считаем, что жидкость двигается со скоростью поршня), тогда уравнение неразрывности приобретает вид: | | Пусть поршень перемещается на расстояние $x(t)$ от положения равновесия. Жидкость должна перетекать из одной половины в другую через узкий канал внутри поршня. Это вызывает движение жидкости в канале, а значит жидкость приобретает кинетическую энергию. Поскольку жидкость идеальна и несжимаема, для неё можно применить уравнение неразрывности (другими словами закон сохранения массы): $S\upsilon=const$. Обозначим скорость жидкости в канале через $\upsilon$, скорость жидкости прямо перед поршнем - $\dot{x}$ (считаем, что жидкость двигается со скоростью поршня), тогда уравнение неразрывности приобретает вид: |
| | | |
| $$\pi R^{2}\dot{x}=\pi r^{2}\upsilon$$ | | $$\pi R^{2}\dot{x}=\pi r^{2}\upsilon$$ |
| | | |
| Отсюда скорость жидкости в канале: | | Отсюда скорость жидкости в канале: |
| | | |
| $$\upsilon=\frac{R^{2}}{r^{2}}\dot{x}$$ | | $$\upsilon=\frac{R^{2}}{r^{2}}\dot{x}$$ |
| | | |
| Масса всей жидкости в канале: | | Масса всей жидкости в канале: |
| | | |
| $$m_{ж}=\rho\pi r^{2}l$$ | | $$m_{ж}=\rho\pi r^{2}l$$ |
| | | |
| Кинетическая энергия жидкости: | | Кинетическая энергия жидкости: |
| | | |
| $$T_{ж}=\frac{1}{2}m_{ж}\upsilon^{2}=\frac{1}{2}\rho\pi r^{2}l\left( \frac{R^{2}}{r^{2}}\dot{x} \right)^{2}=\frac{1}{2}\rho\pi l\frac{R^{4}}{r^{2}}\dot{x}^{2}$$ | | $$T_{ж}=\frac{1}{2}m_{ж}\upsilon^{2}=\frac{1}{2}\rho\pi r^{2}l\left( \frac{R^{2}}{r^{2}}\dot{x} \right)^{2}=\frac{1}{2}\rho\pi l\frac{R^{4}}{r^{2}}\dot{x}^{2}$$ |
| | | |
| Полная кинетическая энергия системы состоит из кинетической энергии самого поршня и жидкости в нём: | | Полная кинетическая энергия системы состоит из кинетической энергии самого поршня и жидкости в нём: |
| | | |
| $$T=T_{п}+T_{ж}=\frac{1}{2}m\dot{x}^{2}+\frac{1}{2}\rho\pi l\frac{R^{4}}{r^{2}}\dot{x}^{2}=\frac{1}{2}\left( m+\rho\pi l\frac{R^{4}}{r^{2}} \right)\dot{x}^{2}$$ | | $$T=T_{п}+T_{ж}=\frac{1}{2}m\dot{x}^{2}+\frac{1}{2}\rho\pi l\frac{R^{4}}{r^{2}}\dot{x}^{2}=\frac{1}{2}\left( m+\rho\pi l\frac{R^{4}}{r^{2}} \right)\dot{x}^{2}$$ |
| | | |
| Потенциальная энергия системы состоит только из потенциальной энергии пружины: | | Потенциальная энергия системы состоит только из потенциальной энергии пружины: |
| | | |
| $$U=\frac{1}{2}kx^{2}$$ | | $$U=\frac{1}{2}kx^{2}$$ |
| | | |
| Лагранжиан системы: | | Лагранжиан системы: |
| | | |
| $$\mathcal{L}=T-U=\frac{1}{2}\left( m+\rho\pi l\frac{R^{4}}{r^{2}} \right)\dot{x}^{2}-\frac{1}{2}kx^{2}$$ | | $$\mathcal{L}=T-U=\frac{1}{2}\left( m+\rho\pi l\frac{R^{4}}{r^{2}} \right)\dot{x}^{2}-\frac{1}{2}kx^{2}$$ |
| | | |
| Запишем уравнение Эйлера-Лагранжа: | | Запишем уравнение Эйлера-Лагранжа: |
| | | |
| $$\frac{d }{dt}\left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x}} \right)-\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x}=0$$ | | $$\frac{d }{dt}\left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x}} \right)-\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x}=0$$ |
| | | |
| Вычислим частные производные: | | Вычислим частные производные: |
| | | |
| $$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x}}=\left( m+\rho\pi l\frac{R^{4}}{r^{2}} \right)\dot{x}$$ | | $$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x}}=\left( m+\rho\pi l\frac{R^{4}}{r^{2}} \right)\dot{x}$$ |
| $$\frac{d }{dt}\left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x}} \right)=\left( m+\rho\pi l\frac{R^{4}}{r^{2}} \right)\ddot{x}$$ | | $$\frac{d }{dt}\left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x}} \right)=\left( m+\rho\pi l\frac{R^{4}}{r^{2}} \right)\ddot{x}$$ |
| $$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x}=-kx$$ | | $$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x}=-kx$$ |
| | | |
| Подставим найденные выражения производных в уравнение Эйлера-Лагранжа: | | Подставим найденные выражения производных в уравнение Эйлера-Лагранжа: |
| | | |
| $$\left( m+\rho\pi l\frac{R^{4}}{r^{2}} \right)\ddot{x}+kx=0$$ | | $$\left( m+\rho\pi l\frac{R^{4}}{r^{2}} \right)\ddot{x}+kx=0$$ |
| $$\ddot{x}+\frac{k}{m+\rho\pi l\frac{R^{4}}{r^{2}}}x=0$$ | | $$\ddot{x}+\frac{k}{m+\rho\pi l\frac{R^{4}}{r^{2}}}x=0$$ |
| | | |
| Это уравнение движения гармонического осциллятора в виде $\ddot{x}+\omega^{2}x=0$, где $\omega$ - циклическая частота: | | Это уравнение движения гармонического осциллятора в виде $\ddot{x}+\omega^{2}x=0$, где $\omega$ - циклическая частота: |
| | | |
| $$\omega^{2}=\frac{k}{m+\rho\pi l\frac{R^{4}}{r^{2}}}$$ | | $$\omega^{2}=\frac{k}{m+\rho\pi l\frac{R^{4}}{r^{2}}}$$ |
| | | |
| Отсюда: | | Отсюда: |
| | | |
| $$\omega=\sqrt{\frac{k}{m+\pi\rho l\frac{R^{4}}{r^{2}}}}$$ | | $$\omega=\sqrt{\frac{k}{m+\pi\rho l\frac{R^{4}}{r^{2}}}}$$ |
| | | |
| #### Ответ | | #### Ответ |
| | | |
| $$\omega=\sqrt{\frac{k}{m+\pi\rho l\frac{R^{4}}{r^{2}}}}$$ | | $$\omega=\sqrt{\frac{k}{m+\pi\rho l\frac{R^{4}}{r^{2}}}}$$ |
