Решение

В соответствии с рисунком расстояние от левого конца предмета до линзы будет:

$$a_{1}=a+\frac{l}{2} \tag{1}$$

Расстояние от правого конца предмета до линзы будет:

$$a_{2}=a-\frac{l}{2} \tag{2}$$

По формуле тонкой линзы найдём расстояния между линзой и изображениями этих концов предмета:

$$\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{b_{1}}=\frac{1}{f}$$
$$b_{1}=\frac{a_{1}f}{a_{1}-f} \tag{3}$$

Аналогично для $b_{2}$:

$$b_{2}=\frac{a_{2}f}{a_{2}-f} \tag{4}$$

Так как $a_{1}\gt a_{2}$, то $b_{2}\gt b_{1}$.

Продольное увеличение предмета по определению:

$$k=\frac{b_{2}-b_{1}}{l} \tag{5}$$

Подставим (1) в (3) и найдём $b_{1}$:

$$b_{1}=\frac{(a+\frac{l}{2})f}{(a-f)+\frac{l}{2}}$$

Подставим (2) в (4) и найдём $b_{2}$:

$$b_{2}=\frac{(a-\frac{l}{2})f}{(a-f)-\frac{l}{2}}$$

Подставим выражения для $b_{1}$ и $b_{2}$ в формулу (5):

$$k=\frac{1}{l}\cdot \left( \frac{(a-\frac{l}{2})f}{(a-f)-\frac{l}{2}}-\frac{(a+\frac{l}{2})f}{(a-f)+\frac{l}{2}} \right)$$

Приводим к общему знаменателю и упрощаем:

$$k=\frac{f}{l}\cdot \frac{(a-\frac{l}{2})(a+\frac{l}{2})-f(a-\frac{l}{2})-(a-\frac{l}{2})(a+\frac{l}{2})+f(a+\frac{l}{2})}{(a-f)^{2}-\frac{l^{2}}{4}}$$
$$k=\frac{f}{l}\cdot \frac{-f(a-\frac{l}{2})+f(a+\frac{l}{2})}{(a-f)^{2}-\frac{l^{2}}{4}}$$
$$k=\frac{f}{l}\cdot \frac{fl}{(a-f)^{2}-\frac{l^{2}}{4}}$$

Окончательно:

$$k=\frac{f^{2}}{(a-f)^{2}-\frac{l^{2}}{4}}$$