Решение

В данной задаче используется два оснновных условия, для минимальной отдачи. Одна из них, это сохранение линейной скорости точек, за пределом точки удара, условно возьмем точку на свободном конце палки:

$$v_o=v$$

$$\omega_0l=\omega (l-x)$$

Где $x$ - расстояние от руки до точки удара.

Найдем отношение угловых скоростей до и после удара:

$$\frac{\omega_0}{\omega}=\frac{l-x}{l}$$

Второе условие для минимальной отдачи это сохранение момента импульса системы:

$$I_0\omega_0=I\omega$$

Разный момент инерции обусловлен новой точкой вращения.

Подставим отношение скоростей:

$$\frac{I_0(l-x)}{l}=I$$

Момент инерции палки относительно одного из его концов(которую держит рука война
):

$$I_0=\frac{ml^2}{3}$$

Новый момент инерции в момент удара, по теореме Штейнера:

$$I=\frac{ml^2}{12}+m(x-\frac{l}{2})^2\Rightarrow$$

$$\Rightarrow I=\frac{ml^2}{3}-mxl+mx^2$$

Подставим их в закон сохранения момента импульса:

$$\frac{ml^2}{3}\frac{l-x}{l}=\frac{ml^2}{3}-mxl+mx^2$$

Сократим массу:

$$\frac{l^2-lx}{3}=\frac{l^2}{3}-lx+x^2$$

Решаем уравнение:

$$\frac{2lx}{3}=x^2$$

Получаем ответ:

$$\boxed{x=\frac{2l}{3}}$$