Edits to “Условие”, “Решение”, “Ответ”

emixter edited
View solution History
revision #14489 parent #14488 ← older
ru/7.1.19.md +28 −3
@@ -1,11 +1,36 @@
### Условие
−$7.1.19.$ [Вставьте условие задачи]
+$7.1.19.$ Найдите период малых колебаний гантели длины $l$ с шариками массы $m$, расположенной вдоль однородного электрического поля напряженностью $E$. Заряд шариков гантели $\pm q$.
### Решение
−fgg
+На шарик с зарядом $+q$ действует сила $\vec F=q\vec E$, а на шарик с зарядом $-q$ действует сила $\vec F=-q\vec E$. Обе силы одинаковы по модулю, направлены в противоположные стороны, приложены на концах гантели. Это создаёт пару сил, вызывающую крутящий момент.
+Пусть угол отклонения гантели от направления поля равен $\theta$, тогда плечо каждой силы относительно центра гантели равно $\frac{l}{2}\sin\theta$, а сила даёт момент относительно центра:
+
+$$M=-qE\cdot \frac{l}{2}\sin\theta-qE\cdot \frac{l}{2}\sin\theta=-qEl\sin\theta$$
+
+Момент инерции гантели относительно центра:
+
+$$I=2m\left( \frac{l}{2} \right)^{2}=\frac{1}{2}ml^{2}$$
+
+Из закона вращательного движения:
+
+$$I\ddot{\theta}=M \Longrightarrow \frac{1}{2}ml^{2}\ddot{\theta}=-qEl\sin\theta$$
+
+Для малых углов $\sin\theta\approx \theta$, тогда:
+
+$$\frac{1}{2}ml^{2}\ddot{\theta}+qEl\theta=0$$
+$$\ddot{\theta}+\frac{2qE}{ml}\theta=0$$
+
+Это уравнение гармонических колебаний с угловой частотой:
+
+$$\omega=\sqrt{\frac{2qE}{ml}}$$
+
+Период колебаний:
+
+$$T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\frac{ml}{2qE}}$$
+
#### Ответ
−[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]
+$$T=2\pi\sqrt{\frac{ml}{2qE}}$$