Edit to “Решение”
ru/7.4.5.md
+8 −1
| ### Условие | |||
| $7.4.5.$ С большого расстояния навстречу друг другу со скоростью соответственно $\upsilon_{1}$ и $\upsilon_{2}$ движутся два электрона. Определите минимальное расстояние, на которое они сблизятся. | |||
| ### Решение | |||
| Найдем скорость центра масс для двух электронов, движущихся навстречу друг другу со скоростями $\upsilon_{1}$ и $\upsilon_{2}$: | |||
| $$\upsilon_{цм}=\frac{m_{e}\upsilon_{1}+(-m_{e}\upsilon_{2})}{m_{e}+m_{e}}=\frac{\upsilon_{1}-\upsilon_{2}}{2}$$ | |||
| Перейдём в систему центру масс. В ней скорость первого электрона будет: | |||
| $$\upsilon_{1}^{'}=\upsilon_{1}-\upsilon_{цм}=\upsilon_{1}-\frac{\upsilon_{1}-\upsilon_{2}}{2}=\frac{\upsilon_{1}+\upsilon_{2}}{2}$$ | |||
| Скорость второго электрона будет: | |||
| $$\upsilon_{2}^{'}=\upsilon_{2}+\upsilon_{цм}=\upsilon_{2}+\frac{\upsilon_{1}-\upsilon_{2}}{2}=\frac{\upsilon_{1}+\upsilon_{2}}{2}$$ | |||
| @@ -18,8 +18,15 @@Решение | |||
| То есть, электроны в СЦМ движутся навстречу друг другу с одинаковыми по модулю скоростями: $\upsilon^{'}=\frac{\upsilon_{1}+\upsilon_{2}}{2}$. | |||
| − | Запишем закон сохранения энергии в СЦМ. Минимальное расстояние между электронами соответствует моменту, когда они максимально сблизились, и в этот момент их относительная скорость равна нулю. В момент минимального расстояния кинетическая энергия равна нулю, и полная энергия — это чисто потенциальная энергия кулоновского отталкивания на расстоянии $r_{min}$ | ||
| + | Запишем закон сохранения энергии в СЦМ. Минимальное расстояние между электронами соответствует моменту, когда они максимально сблизились, и в этот момент их относительная скорость равна нулю. В момент минимального расстояния кинетическая энергия равна нулю, и полная энергия — это чисто потенциальная энергия кулоновского отталкивания на расстоянии $r_{min}$: | ||
| + | |||
| + | $$2\cdot \frac{1}{2}m_{e}\upsilon^{'2}=\frac{e^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}r_{min}}$$ | ||
| + | $$m_{e}\left( \frac{\upsilon_{1}+\upsilon_{2}}{2} \right)^{2}=\frac{e^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}r_{min}}$$ | ||
| + | |||
| + | Отсюда: | ||
| + | |||
| + | $$r_{min}=\frac{e^{2}}{\pi \varepsilon_{0}m_{e}(\upsilon_{1}+\upsilon_{2})^{2}}$$ | ||
| #### Ответ | |||
| $$r_{min}=\frac{e^{2}}{\pi \varepsilon_{0}m_{e}(\upsilon_{1}+\upsilon_{2})^{2}}$$ | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $7.4.5.$ С большого расстояния навстречу друг другу со скоростью соответственно $\upsilon_{1}$ и $\upsilon_{2}$ движутся два электрона. Определите минимальное расстояние, на которое они сблизятся. | $7.4.5.$ С большого расстояния навстречу друг другу со скоростью соответственно $\upsilon_{1}$ и $\upsilon_{2}$ движутся два электрона. Определите минимальное расстояние, на которое они сблизятся. | ||
| ### Решение | ### Решение | ||
| Найдем скорость центра масс для двух электронов, движущихся навстречу друг другу со скоростями $\upsilon_{1}$ и $\upsilon_{2}$: | Найдем скорость центра масс для двух электронов, движущихся навстречу друг другу со скоростями $\upsilon_{1}$ и $\upsilon_{2}$: | ||
| $$\upsilon_{цм}=\frac{m_{e}\upsilon_{1}+(-m_{e}\upsilon_{2})}{m_{e}+m_{e}}=\frac{\upsilon_{1}-\upsilon_{2}}{2}$$ | $$\upsilon_{цм}=\frac{m_{e}\upsilon_{1}+(-m_{e}\upsilon_{2})}{m_{e}+m_{e}}=\frac{\upsilon_{1}-\upsilon_{2}}{2}$$ | ||
| Перейдём в систему центру масс. В ней скорость первого электрона будет: | Перейдём в систему центру масс. В ней скорость первого электрона будет: | ||
| $$\upsilon_{1}^{'}=\upsilon_{1}-\upsilon_{цм}=\upsilon_{1}-\frac{\upsilon_{1}-\upsilon_{2}}{2}=\frac{\upsilon_{1}+\upsilon_{2}}{2}$$ | $$\upsilon_{1}^{'}=\upsilon_{1}-\upsilon_{цм}=\upsilon_{1}-\frac{\upsilon_{1}-\upsilon_{2}}{2}=\frac{\upsilon_{1}+\upsilon_{2}}{2}$$ | ||
| Скорость второго электрона будет: | Скорость второго электрона будет: | ||
| $$\upsilon_{2}^{'}=\upsilon_{2}+\upsilon_{цм}=\upsilon_{2}+\frac{\upsilon_{1}-\upsilon_{2}}{2}=\frac{\upsilon_{1}+\upsilon_{2}}{2}$$ | $$\upsilon_{2}^{'}=\upsilon_{2}+\upsilon_{цм}=\upsilon_{2}+\frac{\upsilon_{1}-\upsilon_{2}}{2}=\frac{\upsilon_{1}+\upsilon_{2}}{2}$$ | ||
| @@ -18,8 +18,15 @@Решение | |||
| То есть, электроны в СЦМ движутся навстречу друг другу с одинаковыми по модулю скоростями: $\upsilon^{'}=\frac{\upsilon_{1}+\upsilon_{2}}{2}$. | То есть, электроны в СЦМ движутся навстречу друг другу с одинаковыми по модулю скоростями: $\upsilon^{'}=\frac{\upsilon_{1}+\upsilon_{2}}{2}$. | ||
| Запишем закон сохранения энергии в СЦМ. Минимальное расстояние между электронами соответствует моменту, когда они максимально сблизились, и в этот момент их относительная скорость равна нулю. В момент минимального расстояния кинетическая энергия равна нулю, и полная энергия — это чисто потенциальная энергия кулоновского отталкивания на расстоянии $r_{min}$ | Запишем закон сохранения энергии в СЦМ. Минимальное расстояние между электронами соответствует моменту, когда они максимально сблизились, и в этот момент их относительная скорость равна нулю. В момент минимального расстояния кинетическая энергия равна нулю, и полная энергия — это чисто потенциальная энергия кулоновского отталкивания на расстоянии $r_{min}$: | ||
| $$2\cdot \frac{1}{2}m_{e}\upsilon^{'2}=\frac{e^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}r_{min}}$$ | |||
| $$m_{e}\left( \frac{\upsilon_{1}+\upsilon_{2}}{2} \right)^{2}=\frac{e^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}r_{min}}$$ | |||
| Отсюда: | |||
| $$r_{min}=\frac{e^{2}}{\pi \varepsilon_{0}m_{e}(\upsilon_{1}+\upsilon_{2})^{2}}$$ | |||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| $$r_{min}=\frac{e^{2}}{\pi \varepsilon_{0}m_{e}(\upsilon_{1}+\upsilon_{2})^{2}}$$ | $$r_{min}=\frac{e^{2}}{\pi \varepsilon_{0}m_{e}(\upsilon_{1}+\upsilon_{2})^{2}}$$ | ||