Решение
Рассмотрим обе ситуации с учетом энергии системы до и после слияния капель ртути. Будем учитывать кинетическую энергию капель, энергию поверхностного натяжения, електрическую энергию самих капель и их взаимодействия. Потери энергии будут идти на теплоту:
$$W=E_{1}-E_{2}$$
где $E_{1}$ $E_{2}$
Изначальная масса капель:
$$m=\frac{4}{3}\pi R^{3}\rho$$
После слияния объем суммируется, значит новый радиус:
$$2\cdot \frac{4}{3}\pi R^{3}=\frac{4}{3}\pi R_{1}^{3} \Longrightarrow R_{1}=\sqrt[3]{2}R$$
а $\textbf{а) }$ $Q$ $−Q$
Кинетическая энергия до слияния капель:
Е $$Е_{1K}=2\cdot\frac{1}{2}m\upsilon^{2}=m\upsilon^{2}=\frac{4}{3}\pi R^{3}\rho\upsilon^{2}$$
Поверхностная энергия двух капель до слияния:
Е $$Е_{1S}=2\cdot S\sigma=2\cdot 4\pi R^{2}\sigma=8\pi R^{2}\sigma$$
Каждая заряженная капля имеет собственную електрическую энергию:
Е $$Е_{1E}^{'}=\int_{0}^{Q}\varphi dq^{'}=\int_{0}^{Q}\frac{q^{'}}{4\pi\varepsilon_{0}R}dq^{'}=\frac{1}{2}\cdot \frac{Q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}R}$$
поскольку ртуть проводник, заряд капли располагается на её поверхности, то считаем потенциал $\varphi$ $R$
Суммарная електрическая энергия двух капель до слияния:
Е $$Е_{1E}=2\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{Q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}R}=\frac{Q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}R}$$
Потенциальной энергии взаимодействия зарядов $Q$ $−Q$
После слияния капель по закону сохранения импульса скорость образовавшейся капли равна 0, значит кинетическая энергия тоже равна 0:
Е $$Е_{2K}=0$$
Поверхностная энергия после слияния:
Е $$Е_{2S}=4\pi R_{1}^{2}\sigma=4\pi\cdot 2^{\frac{2}{3}}R^{2}\sigma$$
По закону сохранения заряда: $Q-Q=0$
Е $$Е_{2E}=0$$
Итак, полная энергия системы до слияния:
$$E_{1}=E_{1K}+E_{1S}+E_{1E}=\frac{4}{3}\pi R^{3}\rho\upsilon^{2}+8\pi R^{2}\sigma+\frac{Q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}R}$$
Полная энергия системы после слияния:
$$E_{2}=E_{2K}+E_{2S}+E_{2E}=4\pi\cdot 2^{\frac{2}{3}}R^{2}\sigma$$
Разность энергий даст нам количество, выделившейся теплоты:
$$W=\frac{4}{3}\pi R^{3}\rho\upsilon^{2}+8\pi R^{2}\sigma+\frac{Q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}R}-4\pi\cdot 2^{\frac{2}{3}}R^{2}\sigma$$ $$W=\frac{4}{3}\pi R^{3}\rho\upsilon^{2}+\frac{Q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}R}+4\pi R^{2}\sigma(2-2^{\frac{2}{3}})$$
б $\textbf{б) }$ $−q$ $Q$
Кинетическая энергия до слияния будет та же:
Е $$Е_{1K}=\frac{4}{3}\pi R^{3}\rho\upsilon^{2}$$
Поверхностная энергия до слияния также будет та же:
Е $$Е_{1S}=8\pi R^{2}\sigma$$
Електрическая энергия системы будет суммой собственных електрических энергий капель с зарядами $−q$ $Q$
$$E_{1E}=\frac{1}{2}\cdot \frac{q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}R}+\frac{1}{2}\cdot \frac{Q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}R}=\frac{q^{2}+Q^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}R}$$
После слияния капель их кинетическая энергия равна 0 (по той же причине, что и в случае а):
Е $$Е_{2K}=0$$
Поверхностная энергия после слияния такая же, как в случае а:
Е $$Е_{2S}=4\pi\cdot 2^{\frac{2}{3}}R^{2}\sigma$$
После слияния по закону сохранению заряда, заряд капли станет $Q-q$
$$E_{2E}=\frac{1}{2}\cdot \frac{(Q-q)^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}R_{1}}=\frac{(Q-q)^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}\sqrt[3]{2}R}$$
Итак, полная энергия системы до слияния:
$$E_{1}=E_{1K}+E_{1S}+E_{1E}=\frac{4}{3}\pi R^{3}\rho\upsilon^{2}+8\pi R^{2}\sigma+\frac{q^{2}+Q^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}R}$$
Полная энергия системы после слияния:
$$E_{2}=E_{2K}+E_{2S}+E_{2E}=4\pi\cdot 2^{\frac{2}{3}}R^{2}\sigma+\frac{(Q-q)^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}\sqrt[3]{2}R}$$
Разность энергий даст нам количество, выделившейся теплоты:
$$W=\frac{4}{3}\pi R^{3}\rho\upsilon^{2}+8\pi R^{2}\sigma+\frac{q^{2}+Q^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}R}-4\pi\cdot 2^{\frac{2}{3}}R^{2}\sigma-\frac{(Q-q)^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}\sqrt[3]{2}R}$$
$$W=\frac{4}{3}\pi R^{3}\rho\upsilon^{2}+\frac{Q^{2}+q^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}R}-\frac{(Q-q)^{2}}{8\pi\varepsilon_{0}\sqrt[3]{2}R}+4\pi R^{2}\sigma(2-2^{\frac{2}{3}})$$
В ответе задачника есть опечатки.