Решение

Рассмотрим обе ситуации с учетом энергии системы до и после слияния капель ртути. Будем учитывать кинетическую энергию капель, энергию поверхностного натяжения, електрическую энергию самих капель и их взаимодействия. Потери энергии будут идти на теплоту:

$$W=E_{1}-E_{2}$$

где $E_{1}$ - полная энергия до слияния капель, а $E_{2}$ - полная энергия после слияния капель.

Изначальная масса капель:

$$m=\frac{4}{3}\pi R^{3}\rho$$

После слияния объем суммируется, значит новый радиус:

$$2\cdot \frac{4}{3}\pi R^{3}=\frac{4}{3}\pi R_{1}^{3} \Longrightarrow R_{1}=\sqrt[3]{2}R$$

$\textbf{а) }$ Рассмотрим случай, когда заряды капель равны $Q$ и $−Q$.

Кинетическая энергия до слияния капель:

$$Е_{1K}=2\cdot\frac{1}{2}m\upsilon^{2}=m\upsilon^{2}=\frac{4}{3}\pi R^{3}\rho\upsilon^{2}$$

Поверхностная энергия двух капель до слияния:

$$Е_{1S}=2\cdot S\sigma=2\cdot 4\pi R^{2}\sigma=8\pi R^{2}\sigma$$

Каждая заряженная капля имеет собственную електрическую энергию:

$$Е_{1E}^{'}=\int_{0}^{Q}\varphi dq^{'}=\int_{0}^{Q}\frac{q^{'}}{4\pi\varepsilon_{0}R}dq^{'}=\frac{1}{2}\cdot \frac{Q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}R}$$

поскольку ртуть проводник, заряд капли располагается на её поверхности, то считаем потенциал $\varphi$, как для проводящей сферы радиуса $R$.

Суммарная електрическая энергия двух капель до слияния:

$$Е_{1E}=2\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{Q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}R}=\frac{Q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}R}$$

Потенциальной энергии взаимодействия зарядов $Q$ и $−Q$ на большом (бесконечном) расстоянии нет, она равна 0.

После слияния капель по закону сохранения импульса скорость образовавшейся капли равна 0, значит кинетическая энергия тоже равна 0:

$$Е_{2K}=0$$

Поверхностная энергия после слияния:

$$Е_{2S}=4\pi R_{1}^{2}\sigma=4\pi\cdot 2^{\frac{2}{3}}R^{2}\sigma$$

По закону сохранения заряда: $Q-Q=0$, то есть после слияния система електрически нейтральна, значит електрическая энергия равна 0:

$$Е_{2E}=0$$

Итак, полная энергия системы до слияния:

$$E_{1}=E_{1K}+E_{1S}+E_{1E}=\frac{4}{3}\pi R^{3}\rho\upsilon^{2}+8\pi R^{2}\sigma+\frac{Q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}R}$$

Полная энергия системы после слияния:

$$E_{2}=E_{2K}+E_{2S}+E_{2E}=4\pi\cdot 2^{\frac{2}{3}}R^{2}\sigma$$

Разность энергий даст нам количество, выделившейся теплоты:

$$W=\frac{4}{3}\pi R^{3}\rho\upsilon^{2}+8\pi R^{2}\sigma+\frac{Q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}R}-4\pi\cdot 2^{\frac{2}{3}}R^{2}\sigma$$
$$W=\frac{4}{3}\pi R^{3}\rho\upsilon^{2}+\frac{Q^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}R}+4\pi R^{2}\sigma(2-2^{\frac{2}{3}})$$

$\textbf{б) }$ Теперь рассмотрим случай, когда заряды капель $−q$ и $Q$.